ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) tg15°;

б) tg75°;

в) tg105°;

г) tg165°.

а) $\operatorname{tg} 15^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ — 30^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ — \operatorname{tg} 30^\circ}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} =$

$= \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} — 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} — 1)} = \frac{3 — 2\sqrt{3} + 1}{3 — 1} = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{2} = 2 — \sqrt{3};$

Ответ: $2 — \sqrt{3}$.

б) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 — \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 — 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} =$

$= \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 — 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3};$

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

в) $\operatorname{tg} 105^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 60^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ}{1 — \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 — 1 \cdot \sqrt{3}} =$

$= \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 — 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 — \sqrt{3};$

Ответ: $-2 — \sqrt{3}$.

г) $\operatorname{tg} 165^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 120^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 120^\circ}{1 — \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 120^\circ} = \frac{1 + (-\sqrt{3})}{1 — 1 \cdot (-\sqrt{3})} =$

$= \frac{1 — \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 — \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 — \sqrt{3})} = \frac{1 — 2\sqrt{3} + 3}{1 — 3} = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} — 2;$

Ответ: $\sqrt{3} — 2$.

а) $\operatorname{tg} 15^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ — 30^\circ)$

Мы используем формулу для тангенса разности углов:

$$\operatorname{tg}(A — B) = \frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Для $A = 45^\circ$ и $B = 30^\circ$ это будет:

$$\operatorname{tg}(45^\circ — 30^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ — \operatorname{tg} 30^\circ}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ}$$

Теперь подставляем значения для $\operatorname{tg} 45^\circ$ и $\operatorname{tg} 30^\circ$. Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} 45^\circ = 1 \quad \text{и} \quad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Тогда:

$$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{1 — \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель

В числителе:

$$1 — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}$$

В знаменателе:

$$1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$$

Теперь подставляем эти выражения обратно:

$$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}$$

Шаг 2: Сокращаем на $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Поскольку в числителе и знаменателе присутствует одинаковый множитель $\frac{1}{\sqrt{3}}$, он сокращается:

$$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3} + 1}$$

Шаг 3: Умножение на сопряженные выражения

Теперь, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3} — 1$:

$$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{(\sqrt{3} — 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} — 1)}$$

Шаг 4: Упрощение знаменателя

В знаменателе мы используем формулу разности квадратов:

$$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} — 1) = (\sqrt{3})^2 — 1^2 = 3 — 1 = 2$$

Теперь числитель:

$$(\sqrt{3} — 1)^2 = (\sqrt{3})^2 — 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 = 4 — 2\sqrt{3}$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Упростим результат

Разделим каждый элемент числителя на 2:

$$\operatorname{tg} 15^\circ = 2 — \sqrt{3}$$

Ответ: $2 — \sqrt{3}$.

б) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ)$

Используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Для $A = 45^\circ$ и $B = 30^\circ$ это будет:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 — \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ}$$

Подставляем значения для $\operatorname{tg} 45^\circ$ и $\operatorname{tg} 30^\circ$:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 — 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель

В числителе:

$$1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$$

В знаменателе:

$$1 — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} — \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}$$

Теперь подставляем эти выражения обратно:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} — 1}{\sqrt{3}}}$$

Шаг 2: Сокращаем на $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Поскольку в числителе и знаменателе присутствует одинаковый множитель $\frac{1}{\sqrt{3}}$, он сокращается:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} — 1}$$

Шаг 3: Умножение на сопряженные выражения

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3} + 1$:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)}$$

Шаг 4: Упрощение знаменателя

В знаменателе снова используется формула разности квадратов:

$$(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 — 1^2 = 3 — 1 = 2$$

Теперь числитель:

$$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Упростим результат

Разделим каждый элемент числителя на 2:

$$\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$$

Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

в) $\operatorname{tg} 105^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 60^\circ)$

Используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Для $A = 45^\circ$ и $B = 60^\circ$ это будет:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ}{1 — \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 60^\circ}$$

Подставляем значения для $\operatorname{tg} 45^\circ$ и $\operatorname{tg} 60^\circ$:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 — 1 \cdot \sqrt{3}}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель

В числителе:

$$1 + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

В знаменателе:

$$1 — \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} — \sqrt{3} = \frac{1 — \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Теперь подставляем эти выражения обратно:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{1 — \sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$$

Шаг 2: Сокращаем на $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Поскольку в числителе и знаменателе присутствует одинаковый множитель $\frac{1}{\sqrt{3}}$, он сокращается:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 — \sqrt{3}}$$

Шаг 3: Умножение на сопряженные выражения

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $1 + \sqrt{3}$:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}$$

Шаг 4: Упрощение знаменателя

В знаменателе снова используем формулу разности квадратов:

$$(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = (1)^2 — (\sqrt{3})^2 = 1 — 3 = -2$$

Теперь числитель:

$$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}$$

Шаг 5: Упростим результат

Разделим каждый элемент числителя на $-2$:

$$\operatorname{tg} 105^\circ = -2 — \sqrt{3}$$

Ответ: $-2 — \sqrt{3}$.

г) $\operatorname{tg} 165^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 120^\circ)$

Используем формулу для тангенса суммы углов:

$$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg} A + \operatorname{tg} B}{1 — \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Для $A = 45^\circ$ и $B = 120^\circ$ это будет:

$$\operatorname{tg} 165^\circ = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 120^\circ}{1 — \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 120^\circ}$$

Подставляем значения для $\operatorname{tg} 45^\circ$ и $\operatorname{tg} 120^\circ$:

$$\operatorname{tg} 165^\circ = \frac{1 + (-\sqrt{3})}{1 — 1 \cdot (-\sqrt{3})}$$

Шаг 1: Упростим числитель и знаменатель

В числителе:

$$1 + (-\sqrt{3}) = 1 — \sqrt{3}$$

В знаменателе:

$$1 — (-\sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$$

Теперь подставляем эти выражения обратно:

$$\operatorname{tg} 165^\circ = \frac{1 — \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$$

Шаг 2: Умножение на сопряженные выражения

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $1 — \sqrt{3}$:

$$\operatorname{tg} 165^\circ = \frac{(1 — \sqrt{3})^2}{(1 + \sqrt{3})(1 — \sqrt{3})}$$

Шаг 3: Упрощение знаменателя

В знаменателе снова используем формулу разности квадратов:

$$(1 + \sqrt{3})(1 — \sqrt{3}) = (1)^2 — (\sqrt{3})^2 = 1 — 3 = -2$$

Теперь числитель:

$$(1 — \sqrt{3})^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 — 2\sqrt{3} + 3 = 4 — 2\sqrt{3}$$

Таким образом:

$$\operatorname{tg} 165^\circ = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{-2}$$

Шаг 4: Упростим результат

Разделим каждый элемент числителя на $-2$:

$$\operatorname{tg} 165^\circ = \sqrt{3} — 2$$

Ответ: $\sqrt{3} — 2$.

Итоговые ответы:

• $\operatorname{tg} 15^\circ = 2 — \sqrt{3}$
• $\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$
• $\operatorname{tg} 105^\circ = -2 — \sqrt{3}$
• $\operatorname{tg} 165^\circ = \sqrt{3} — 2$