ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить:

а) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$, если $\operatorname{tg} a = \frac{2}{3}$;

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a} = \frac{1 — \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{3} — \frac{2}{3} \right) : \left( \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{3} : \frac{5}{3} = \frac{1}{5}.$$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$, если $\operatorname{tg} a = \frac{4}{5}$;

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{5} \cdot \sqrt{3}} = \left( \frac{4}{5} + \frac{5\sqrt{3}}{5} \right) : \left( \frac{5}{5} — \frac{4\sqrt{3}}{5} \right);$$ $$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5}}{\frac{5 — 4\sqrt{3}}{5}} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{5} : \frac{5 — 4\sqrt{3}}{5} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 — 4\sqrt{3}};$$ $$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})}{(5 — 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3})} = \frac{20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 60}{25 — 48} = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23};$$ $$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{41\sqrt{3} + 80}{23}.$$

Ответ: $-\frac{41\sqrt{3} + 80}{23}$.

а) Найти $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — a\right)$, если $\operatorname{tg} a = \frac{2}{3}$

Шаг 1. Вспомним формулу тангенса разности:

$$\operatorname{tg}(x — y) = \frac{\operatorname{tg}x — \operatorname{tg}y}{1 + \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{tg}y}$$

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$, $y = a$:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a}$$

Шаг 2. Подставим известные значения:

$$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1,\quad \operatorname{tg} a = \frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \frac{1 — \frac{2}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{2}{3}}$$

Шаг 3. Преобразуем числитель:

$$1 — \frac{2}{3} = \frac{3}{3} — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4. Преобразуем знаменатель:

$$1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$

Шаг 5. Делим дроби:

$$\frac{1}{3} : \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{5}}$

б) Найти $\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right)$, если $\operatorname{tg} a = \frac{4}{5}$

Шаг 1. Вспомним формулу тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{tg}y}{1 — \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{tg}y}$$

Пусть $x = a$, $y = \frac{\pi}{3}$, тогда:

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{tg}a + \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}}{1 — \operatorname{tg}a \cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}}$$

Шаг 2. Подставим известные значения:

$$\operatorname{tg}a = \frac{4}{5},\quad \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$ $$\Rightarrow \operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4}{5} + \sqrt{3}}{1 — \frac{4}{5} \cdot \sqrt{3}}$$

Шаг 3. Приводим числитель к общему знаменателю:

$$\frac{4}{5} + \sqrt{3} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{5}$$

(т.к. $\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{5}$)

Шаг 4. Приводим знаменатель к общему знаменателю:

$$1 — \frac{4}{5}\sqrt{3} = \frac{5 — 4\sqrt{3}}{5}$$

Шаг 5. Делим дроби:

$$\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5} : \frac{5 — 4\sqrt{3}}{5} = \frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 — 4\sqrt{3}}$$

(поскольку знаменатели одинаковы, можно сократить)

Шаг 6. Рационализируем знаменатель:

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $5 + 4\sqrt{3}$:

$$\frac{4 + 5\sqrt{3}}{5 — 4\sqrt{3}} \cdot \frac{5 + 4\sqrt{3}}{5 + 4\sqrt{3}}$$

Шаг 7. Умножим числитель:

$$(4 + 5\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3}) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 5 + 5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$$

Выполняем действия:

$$= 20 + 16\sqrt{3} + 25\sqrt{3} + 20 \cdot 3 = 20 + 41\sqrt{3} + 60 = 80 + 41\sqrt{3}$$

Шаг 8. Умножим знаменатель (разность квадратов):

$$(5 — 4\sqrt{3})(5 + 4\sqrt{3}) = 5^2 — (4\sqrt{3})^2 = 25 — 48 = -23$$

Шаг 9. Итог:

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{80 + 41\sqrt{3}}{-23} = -\frac{80 + 41\sqrt{3}}{23}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{41\sqrt{3} + 80}{23}}$