ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin a = -\frac{12}{13}$, $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$. Вычислите:

а) $\mathrm{tg}(a+\frac{\pi }{4})$

б) $\mathrm{tg}(a-\frac{\pi }{4})$

Известно, что $\sin a = -\frac{12}{13}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $a$ принадлежит третьей четверти, значит:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{144}{169}} = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = -\frac{12}{13} : \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5} = 2,4;$$

а) $\tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a + \tg \frac{\pi}{4}}{1 — \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}} = \frac{2,4 + 1}{1 — 2,4 \cdot 1} = \frac{3,4}{-1,4} = -\frac{34}{14} = -\frac{17}{7}$;

Ответ: $-\frac{17}{7}$.

б) $\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tg a — \tg \frac{\pi}{4}}{1 + \tg a \cdot \tg \frac{\pi}{4}} = \frac{2,4 — 1}{1 + 2,4 \cdot 1} = \frac{1,4}{3,4} = \frac{14}{34} = \frac{7}{17}$;

Ответ: $\frac{7}{17}$.

Дано:

$$\sin a = -\frac{12}{13},\quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

Анализ:

Угол $a$ лежит в третьей четверти.
В третьей четверти:

• $\sin a < 0$
• $\cos a < 0$
• $\tg a > 0$

Шаг 1. Найдём $\cos a$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Подставим:

$$\cos^2 a = 1 — \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 — \frac{144}{169} = \frac{169 — 144}{169} = \frac{25}{169}$$ $$\cos a = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$$

(минус, потому что в 3-й четверти косинус отрицателен)

Шаг 2. Найдём $\tg a$:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$ $$\tg a = 2{,}4$$

а) Найдём $\tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right)$

Формула:

$$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 — \tg x \cdot \tg y}$$

Заменим: $x = a,\quad y = \frac{\pi}{4},\quad \tg a = 2{,}4,\quad \tg\frac{\pi}{4} = 1$

$$\tg\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2{,}4 + 1}{1 — 2{,}4 \cdot 1} = \frac{3{,}4}{1 — 2{,}4} = \frac{3{,}4}{-1{,}4}$$

Преобразуем в дроби:

$$\frac{3{,}4}{-1{,}4} = \frac{34}{10} : \frac{14}{10} = \frac{34}{14} = \frac{17}{7} \Rightarrow \text{с минусом: } -\frac{17}{7}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{17}{7}}$

б) Найдём $\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right)$

Формула:

$$\tg(x — y) = \frac{\tg x — \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y}$$

Подставим: $\tg a = 2{,}4,\quad \tg \frac{\pi}{4} = 1$

$$\tg\left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2{,}4 — 1}{1 + 2{,}4 \cdot 1} = \frac{1{,}4}{3{,}4}$$

Преобразуем в дроби:

$$\frac{1{,}4}{3{,}4} = \frac{14}{10} : \frac{34}{10} = \frac{14}{34} = \frac{7}{17}$$

Ответ: $\boxed{\frac{7}{17}}$