ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Дано: $a — \beta = \frac{\pi}{4}$. Докажите, что:

а) $\frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{tg} a$;

б) $\frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1} = \operatorname{tg} \beta$

Известно, что $a — \beta = \frac{\pi}{4}$, доказать равенство:

а) $\frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{tg} a$;

Выразим значение:

$a = \beta + \frac{\pi}{4};$

Преобразуем правую часть равенства:

$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} \left( \beta + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\operatorname{tg} \beta + \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 — \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{1 — \operatorname{tg} \beta \cdot 1} = \frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \beta}.$

Что и требовалось доказать.

б) $\frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1} = \operatorname{tg} \beta$;

Выразим значение:

$\beta = a — \frac{\pi}{4};$

Преобразуем правую часть равенства:

$\operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg} \left( a — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{1 + \operatorname{tg} a \cdot 1} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1}.$

Что и требовалось доказать.

Известно, что

$$a — \beta = \frac{\pi}{4}$$

а) Доказать:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{tg} a$$

Шаг 1. Выразим $a$ через $\beta$:

Из условия:

$$a — \beta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow a = \beta + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Используем формулу тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(x + y) = \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{1 — \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y}$$

Подставим:

• $x = \beta$
• $y = \frac{\pi}{4}$
• $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$

$$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} \left(\beta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{1 — \operatorname{tg} \beta \cdot 1} = \frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{1 — \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 3. Переставим слагаемые в числителе:

$$\frac{\operatorname{tg} \beta + 1}{1 — \operatorname{tg} \beta} = \frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \beta}$$

Что и требовалось доказать:

$$\boxed{\operatorname{tg} a = \frac{1 + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} \beta}}$$

б) Доказать:

$$\frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1} = \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 1. Выразим $\beta$ через $a$:

Из условия:

$$a — \beta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \beta = a — \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2. Используем формулу тангенса разности:

$$\operatorname{tg}(x — y) = \frac{\operatorname{tg} x — \operatorname{tg} y}{1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y}$$

Подставим:

• $x = a$
• $y = \frac{\pi}{4}$
• $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$

$$\operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg} \left(a — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{1 + \operatorname{tg} a \cdot 1} = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1}$$

Что и требовалось доказать:

$$\boxed{\operatorname{tg} \beta = \frac{\operatorname{tg} a — 1}{\operatorname{tg} a + 1}}$$