ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-π; 2π]$:

а)

$$\frac{\sqrt{3} — \operatorname{tg} x}{1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x} = 1;$$ $$\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} — \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} \cdot \operatorname{tg} x} = 1;$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = 1;$$ $$\operatorname{tg}\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = -1;$$ $$x — \frac{\pi}{3} = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{12} + \pi n;$$

Значения на заданном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{12} — \pi = -\frac{11\pi}{12};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{12} — \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{12};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12};$$

Ответ: $-\frac{11\pi}{12}; \frac{\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}$.

б)

$$\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} — \operatorname{tg} 2x}{\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} \cdot \operatorname{tg} 2x + 1} = \sqrt{3};$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{5} — 2x\right) = \sqrt{3};$$ $$\operatorname{tg}\left(2x — \frac{\pi}{5}\right) = -\sqrt{3};$$ $$2x — \frac{\pi}{5} = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{3} + \pi n = -\frac{2\pi}{15} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2}\left(-\frac{2\pi}{15} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2};$$

Значения на заданном отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{15} — \frac{\pi}{2} = -\frac{17\pi}{30};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{15} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{15};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{13\pi}{30};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{14\pi}{15};$$ $$x_5 = \frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{43\pi}{30};$$ $$x_6 = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{29\pi}{15};$$

Ответ: $-\frac{17\pi}{30};\ -\frac{\pi}{15};\ \frac{13\pi}{30};\ \frac{14\pi}{15};\ \frac{43\pi}{30};\ \frac{29\pi}{15}$.

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-π; 2π]$:

а)

$$\frac{\sqrt{3} — \operatorname{tg} x}{1 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} x} = 1$$

Шаг 1. Узнаем, на что похоже выражение

Выражение в левой части:

$$\frac{\sqrt{3} — \tan x}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan x}$$

Похоже на формулу разности тангенсов:

$$\tan(a — b) = \frac{\tan a — \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}$$

Сравниваем:

• В числителе: $\sqrt{3} — \tan x$
• В знаменателе: $1 + \sqrt{3} \cdot \tan x$

То есть:

• $\tan a = \sqrt{3} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$
• $\tan b = \tan x$

Следовательно:

$$\frac{\sqrt{3} — \tan x}{1 + \sqrt{3} \cdot \tan x} = \tan\left(\frac{\pi}{3} — x\right)$$

Шаг 2. Подставим это в уравнение

Исходное уравнение теперь:

$$\tan\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = 1$$

Шаг 3. Решим тригонометрическое уравнение

Решим:

$$\tan\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = 1$$

Мы знаем, что:

$$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Общее решение:

$$\frac{\pi}{3} — x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь решим относительно $x$:

Шаг 3.1. Переносим $x$

$$-x = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3.2. Приводим к общему знаменателю

$$\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi — 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$$ $$-x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$$

Шаг 3.3. Умножим обе части на -1

$$x = \frac{\pi}{12} — \pi n$$

Мы можем также записать:

$$x = \frac{\pi}{12} + \pi m,\quad \text{где } m = -n,\ m \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4. Найдём подходящие значения $x$ на отрезке $[-π; 2π]$

Шаг 4.1. Интервал в числовом виде

$$-π \approx -3.1416;\quad 2π \approx 6.2832$$

Общее решение:

$$x = \frac{\pi}{12} + \pi m$$

Посчитаем значения при разных $m$, чтобы найти те, которые попадают в отрезок.

При $m = -1$:

$$x = \frac{\pi}{12} — \pi = \frac{\pi — 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} \approx -2.8798$$

Входит в отрезок $[-π; 2π]$

При $m = 0$:

$$x = \frac{\pi}{12} \approx 0.2618$$

Входит в отрезок

При $m = 1$:

$$x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \approx 3.4034$$

Входит в отрезок

При $m = 2$:

$$x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} \approx 6.5449$$

Не входит, потому что $6.5449 > 2π$

Шаг 5. Перепишем подходящие корни

$$x_1 = -\frac{11\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{\pi}{12}, \quad x_3 = \frac{13\pi}{12}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{11\pi}{12};\quad \frac{\pi}{12};\quad \frac{13\pi}{12}}$$$$[-\pi;\ 2\pi]$$

б)

$$\frac{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) — \tan(2x)}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \tan(2x)} = \sqrt{3}$$

Шаг 1. Узнаем, что выражено в левой части

Мы видим формулу, которая напоминает формулу для разности тангенсов:

$$\tan(a — b) = \frac{\tan a — \tan b}{1 + \tan a \cdot \tan b}$$

В нашем случае:

• $\tan a = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)$
• $\tan b = \tan(2x)$

Значит:

$$\frac{\tan\left(\frac{\pi}{5}\right) — \tan(2x)}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \tan(2x)} = \tan\left(\frac{\pi}{5} — 2x\right)$$

Шаг 2. Подставим это в уравнение

Исходное уравнение:

$$\tan\left(\frac{\pi}{5} — 2x\right) = \sqrt{3}$$

Шаг 3. Вспомним значение арктангенса

$$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$$

Следовательно:

$$\frac{\pi}{5} — 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Но чтобы избавиться от отрицательного знака перед $x$, домножим на $-1$:

$$2x — \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4. Решим уравнение по шагам

Итак, у нас:

$$2x — \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 4.1. Переносим $\frac{\pi}{5}$ в правую часть

$$2x = \frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Приведём к общему знаменателю:

• $\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15}$
• $\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{15}$

$$2x = \frac{3\pi}{15} — \frac{5\pi}{15} + \pi n = -\frac{2\pi}{15} + \pi n$$

Шаг 5. Разделим на 2, чтобы найти $x$

$$x = \frac{1}{2} \left(-\frac{2\pi}{15} + \pi n\right)$$

Разделим каждое слагаемое отдельно:

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{2},\quad n \in \mathbb{Z}$$

Это общее решение уравнения.

Шаг 6. Найдём значения $x$ на отрезке $[-π; 2π]$

Переведём границы в десятичный вид:

• $-\pi \approx -3.1416$
• $2\pi \approx 6.2832$

Теперь подставим разные значения $n$ и проверим, попадает ли результат в этот отрезок.

При $n = -1$

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi \cdot (-1)}{2} = -\frac{\pi}{15} — \frac{\pi}{2}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$x = -\left(\frac{2\pi}{30} + \frac{15\pi}{30}\right) = -\frac{17\pi}{30} \approx -1.7802$$

Входит

При $n = 0$

$$x = -\frac{\pi}{15} \approx -0.2094$$

Входит

При $n = 1$

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{2} = \frac{-2\pi + 15\pi}{30} = \frac{13\pi}{30} \approx 1.3614$$

Входит

При $n = 2$

$$x = -\frac{\pi}{15} + \pi = \frac{-2\pi + 30\pi}{30} = \frac{28\pi}{30} = \frac{14\pi}{15} \approx 2.9322$$

Входит

При $n = 3$

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-2\pi + 45\pi}{30} = \frac{43\pi}{30} \approx 4.5029$$

Входит

При $n = 4$

$$x = -\frac{\pi}{15} + 2\pi = \frac{-2\pi + 60\pi}{30} = \frac{58\pi}{30} = \frac{29\pi}{15} \approx 6.0737$$

Входит

При $n = 5$

$$x = -\frac{\pi}{15} + \frac{5\pi}{2} = \frac{-2\pi + 75\pi}{30} = \frac{73\pi}{30} \approx 7.6445$$

Не входит (больше $2\pi \approx 6.2832$)

Шаг 7. Список всех подходящих корней

$$x_1 = -\frac{17\pi}{30}$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{15}$$ $$x_3 = \frac{13\pi}{30}$$ $$x_4 = \frac{14\pi}{15}$$ $$x_5 = \frac{43\pi}{30}$$ $$x_6 = \frac{29\pi}{15}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{17\pi}{30};\ -\frac{\pi}{15};\ \frac{13\pi}{30};\ \frac{14\pi}{15};\ \frac{43\pi}{30};\ \frac{29\pi}{15}}$$