ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $\frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a} = \operatorname{tg}(45^\circ — a)$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(45^\circ — a) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + 1 \cdot \operatorname{tg} a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$

Тождество доказано.

б) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + \operatorname{tg} x = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) \cdot \operatorname{tg} x — 1$;

$$\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) \cdot \operatorname{tg} x} = -1;$$ $$\operatorname{tg}\left(\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + x\right) = -1;$$ $$\operatorname{tg} \frac{3\pi}{4} = -1;$$ $$-1 = -1;$$

Тождество доказано.

в) $\frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta)} = 2$;

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) : \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} + (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) : \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = 2;$$ $$(1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta) + (1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta) = 2;$$ $$2 = 2;$$

Тождество доказано.

г) $\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) — \operatorname{tg} a = 1 + \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right) \cdot \operatorname{tg} a$;

$$\frac{\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right) \cdot \operatorname{tg} a} = 1;$$ $$\operatorname{tg}\left(\left(a + \frac{\pi}{4}\right) — a\right) = 1;$$ $$\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а) Доказать тождество:

$$\frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a} = \operatorname{tg}(45^\circ — a)$$

Шаг 1: Формула тангенса разности углов

Формула:

$$\operatorname{tg}(A — B) = \frac{\operatorname{tg} A — \operatorname{tg} B}{1 + \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Подставим $A = 45^\circ$, $B = a$. Учитывая, что $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$, получим:

$$\operatorname{tg}(45^\circ — a) = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + 1 \cdot \operatorname{tg} a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a}$$

Шаг 2: Сравнение с левой частью

Левая часть:

$$\frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a}$$

Поскольку левая и правая части совпали, тождество доказано.
Тождество доказано.

б) Доказать тождество:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + \operatorname{tg} x = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) \cdot \operatorname{tg} x — 1$$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Перенесем все в одну сторону:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + \operatorname{tg} x — \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) \cdot \operatorname{tg} x + 1 = 0$$

Разложим левую часть по формуле суммы тангенсов:

$$\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) \cdot \operatorname{tg} x}$$

Если эта дробь равна $-1$, то исходное равенство верно. Проверим:

Шаг 2: Вычислим сумму углов

$$\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right)$$

Из таблицы значений:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$$

То есть:

$$\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) \cdot \operatorname{tg} x} = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$$

Тождество доказано.

в) Доказать тождество:

$$\frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a + \beta)} + \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg}(a — \beta)} = 2$$

Шаг 1: Используем формулу тангенса суммы и разности углов

Формула:

$$\operatorname{tg}(A \pm B) = \frac{\operatorname{tg} A \pm \operatorname{tg} B}{1 \mp \operatorname{tg} A \cdot \operatorname{tg} B}$$

Подставим:

• $\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$
• $\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$

Шаг 2: Подставим в исходное выражение

$$\frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}} + \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{\frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}} =$$

Сократим дроби:

$$(1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta) + (1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta) = 2$$

Тождество доказано.

г) Доказать тождество:

$$\operatorname{tg}\left(a + \frac{\pi}{4}\right) — \operatorname{tg} a = 1 + \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} + a\right) \cdot \operatorname{tg} a$$

Замечание: $\operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4} + a)$, т.е. левая и правая части используют одну и ту же величину.

Шаг 1: Запишем левую часть и вынесем её в отдельную дробь:

Соберем всё в одну дробь:

$$\frac{\operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) \cdot \operatorname{tg} a}$$

Снова используем формулу тангенса разности:

$$\operatorname{tg} \left((a + \frac{\pi}{4}) — a\right) = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Следовательно:

$$\frac{\operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) \cdot \operatorname{tg} a} = 1$$

Значит:

$$\operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) — \operatorname{tg} a = 1 + \operatorname{tg}(a + \frac{\pi}{4}) \cdot \operatorname{tg} a$$

Тождество доказано.