ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а)

$$\operatorname{tg}(a + \beta) — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) = \operatorname{tg}(a + \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) = \frac{(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) \cdot (1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} =$$ $$= \frac{(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) \cdot (1 — (1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta))}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} =$$ $$= \operatorname{tg}(a + \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta;$$

Тождество доказано.

б)

$$\operatorname{tg}(a — \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) = \operatorname{tg}(\beta — a) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\operatorname{tg}(a — \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) = \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) \cdot (1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} =$$ $$= \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) \cdot (1 — (1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta))}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)(-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} =$$ $$= \frac{(\operatorname{tg} \beta — \operatorname{tg} a)(\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \operatorname{tg}(\beta — a) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta;$$

Тождество доказано.

а)

$$\operatorname{tg}(a + \beta) — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) = \operatorname{tg}(a + \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 1. Используем формулу тангенса суммы углов

Формула:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Это значение мы подставим в левую часть равенства.

Шаг 2. Выразим левую часть

Левая часть:

$$\operatorname{tg}(a + \beta) — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)$$

Подставим выражение:

$$\frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)$$

Шаг 3. Приведем к общему знаменателю

Приведем к общему знаменателю:

$$= \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)(1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 4. Раскроем скобки в числителе

Раскрываем скобки:

$$= \frac{(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta) — (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)(1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

В числителе:

$$(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)(1 — (1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)) = (\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)$$

Шаг 5. Получили:

$$= \frac{(\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 6. Вспомним выражение $\operatorname{tg}(a + \beta)$

$$\operatorname{tg}(a + \beta) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Подставим в итоговую дробь:

$$= \operatorname{tg}(a + \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Тождество доказано.

б)

$$\operatorname{tg}(a — \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) = \operatorname{tg}(\beta — a) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Шаг 1. Формула тангенса разности углов

$$\operatorname{tg}(a — \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Подставим это в левую часть.

Шаг 2. Выразим левую часть

$$\operatorname{tg}(a — \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)$$

Шаг 3. Приведем к общему знаменателю

$$= \frac{(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) — (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta)(1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 4. Раскрытие скобок в числителе

$$= (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) \cdot [1 — (1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)] =$$ $$= (\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) \cdot (-\operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta)$$

Шаг 5. Итоговая форма

$$= \frac{-(\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta} = \frac{(\operatorname{tg} \beta — \operatorname{tg} a) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Шаг 6. Используем

$$\operatorname{tg}(\beta — a) = \frac{\operatorname{tg} \beta — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta}$$

Значит:

$$= \operatorname{tg}(\beta — a) \cdot \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} \beta$$

Тождество доказано.