ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\operatorname{tg}^{2} 2x — \operatorname{tg}^{2} x}{1 — \operatorname{tg}^{2} 2x \cdot \operatorname{tg}^{2} x} = \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} x;$$ $$\frac{\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x} \cdot \frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x} = \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} x;$$ $$\operatorname{tg}(2x — x) \cdot \operatorname{tg}(2x + x) = \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} x;$$ $$\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 3x = \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} x;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\operatorname{tg}^{2} 30^\circ — \operatorname{tg}^{2} 15^\circ}{1 — \operatorname{tg}^{2} 30^\circ \cdot \operatorname{tg}^{2} 15^\circ} = \operatorname{tg} 15^\circ;$$ $$\frac{\operatorname{tg} 30^\circ — \operatorname{tg} 15^\circ}{1 + \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ} \cdot \frac{\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 15^\circ}{1 — \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ} = \operatorname{tg} 15^\circ;$$ $$\operatorname{tg}(30^\circ — 15^\circ) \cdot \operatorname{tg}(30^\circ + 15^\circ) = \operatorname{tg} 15^\circ;$$ $$\operatorname{tg} 15^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ = \operatorname{tg} 15^\circ;$$ $$\operatorname{tg} 15^\circ \cdot 1 = \operatorname{tg} 15^\circ;$$

Тождество доказано.

а)

Докажем тождество:

$$\frac{\operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg}^2 x}{1 — \operatorname{tg}^2 2x \cdot \operatorname{tg}^2 x} = \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} x$$

Шаг 1. Распишем левую часть тождества

Выражение:

$$\frac{\operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg}^2 x}{1 — \operatorname{tg}^2 2x \cdot \operatorname{tg}^2 x}$$

Рассмотрим числитель:

$$\operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg}^2 x = (\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x)(\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x)$$

Это формула разности квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Рассмотрим знаменатель:

$$1 — \operatorname{tg}^2 2x \cdot \operatorname{tg}^2 x = \left(1 + \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x\right)\left(1 — \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x\right)$$

Это формула разности квадратов:

$$1 — a^2 = (1 — a)(1 + a)$$

Теперь вся дробь становится:

$$\frac{(\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x)(\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x)}{(1 + \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x)(1 — \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x)}$$

Шаг 2. Представим всё в виде произведения двух дробей

$$\left(\frac{\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x}\right) \cdot \left(\frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x}\right)$$

Шаг 3. Используем формулы тангенса разности и суммы

Формула тангенса разности:

$$\operatorname{tg}(a — b) = \frac{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \Rightarrow \operatorname{tg}(2x — x) = \frac{\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x}$$

Формула тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 — \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \Rightarrow \operatorname{tg}(2x + x) = \frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x}$$

Следовательно:

$$\left(\frac{\operatorname{tg} 2x — \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x}\right) \cdot \left(\frac{\operatorname{tg} 2x + \operatorname{tg} x}{1 — \operatorname{tg} 2x \cdot \operatorname{tg} x}\right) = \operatorname{tg}(x) \cdot \operatorname{tg}(3x)$$

Шаг 4. Получили:

$$\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} 3x = \operatorname{tg} 3x \cdot \operatorname{tg} x \Rightarrow \text{тождество верно.}$$

б)

Подставим конкретные значения:

$$x = 15^\circ,\quad 2x = 30^\circ,\quad 3x = 45^\circ$$

И рассмотрим аналогичное выражение:

$$\frac{\operatorname{tg}^2 30^\circ — \operatorname{tg}^2 15^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 30^\circ \cdot \operatorname{tg}^2 15^\circ} = \operatorname{tg} 15^\circ$$

Шаг 1. Аналогично перепишем числитель и знаменатель

$$\frac{(\operatorname{tg} 30^\circ — \operatorname{tg} 15^\circ)(\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 15^\circ)}{(1 + \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ)(1 — \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ)}$$

Разбиваем:

$$\left(\frac{\operatorname{tg} 30^\circ — \operatorname{tg} 15^\circ}{1 + \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ}\right) \cdot \left(\frac{\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 15^\circ}{1 — \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ}\right)$$

Шаг 2. Используем те же формулы:

$$\operatorname{tg}(30^\circ — 15^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 30^\circ — \operatorname{tg} 15^\circ}{1 + \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ}$$ $$\operatorname{tg}(30^\circ + 15^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 30^\circ + \operatorname{tg} 15^\circ}{1 — \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{tg} 15^\circ}$$

Следовательно:

$$\operatorname{tg}(15^\circ) \cdot \operatorname{tg}(45^\circ) = \operatorname{tg} 15^\circ \cdot 1 = \operatorname{tg} 15^\circ$$

Итог:

$$\frac{\operatorname{tg}^2 30^\circ — \operatorname{tg}^2 15^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 30^\circ \cdot \operatorname{tg}^2 15^\circ} = \operatorname{tg} 15^\circ \Rightarrow \text{тождество доказано.}$$