ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представив $2x$ в виде $x + x$, докажите тождество:

$$\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Представив $2x$ в виде $x + x$, доказать тождество:

$$\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x};$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\tg 2x = \tg(x + x) = \frac{\tg x + \tg x}{1 — \tg x \cdot \tg x} = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x};$$

Тождество доказано.

Представив $2x$ в виде $x + x$, доказать тождество:

$$\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x}$$

Шаг 1. Напомним формулу тангенса суммы двух углов:

$$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 — \tg a \cdot \tg b}$$

Эта формула применяется тогда, когда знаменатель $1 — \tg a \cdot \tg b \ne 0$.

Шаг 2. В нашем случае:

$$2x = x + x$$

Значит, можно воспользоваться формулой суммы:

$$\tg(2x) = \tg(x + x)$$

Шаг 3. Подставим значения в формулу тангенса суммы:

$$\tg(x + x) = \frac{\tg x + \tg x}{1 — \tg x \cdot \tg x}$$

Шаг 4. Упростим числитель:

$$\tg x + \tg x = 2 \tg x$$

Шаг 5. Упростим знаменатель:

$$1 — \tg x \cdot \tg x = 1 — \tg^2 x$$

Шаг 6. Подставим упрощённые числитель и знаменатель:

$$\tg(2x) = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x}$$

Шаг 7. Левую часть тождества мы преобразовали к правой:

$$\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x}$$

Шаг 8. Таким образом, тождество доказано:

$$\tg 2x \equiv \frac{2 \tg x}{1 — \tg^2 x}$$

Ответ:

Тождество доказано.