ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 25 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) (5^(-4) * 15^6)/(3^(-5)^-2);

б) (4^3*14^-3)/(7^-5*2^7);

в) (3^5*6^-6)/(2^3)^-4;

г) (8^-3*10^5)/(5^6*2^-2).

а) $\frac{5^{-4}\cdot {15}^6}{(3^{-5}{)}^{-2}}=\frac{5^{-4}\cdot (3\cdot 5{)}^6}{3^{-5\cdot (-2)}}=\frac{5^{-4}\cdot 3^6\cdot 5^6}{3^{10}}=3^{6-10}\cdot 5^{-4+6}=3^{-4}\cdot 5^2=\frac{5^2}{3^4}=\frac{25}{81}$;

б) $\frac{4^3\cdot {14}^{-3}}{7^{-5}\cdot 2^7}=\frac{(2^2{)}^3\cdot (7\cdot 2{)}^{-3}}{7^{-5}\cdot 2^7}=\frac{2^6\cdot 7^{-3}\cdot 2^{-3}}{7^{-5}\cdot 2^7}=2^{6-3-7}\cdot 7^{-3-(-5)}=2^{-4}\cdot 7^2=\frac{7^2}{2^4}=\frac{49}{16}=3\frac{1}{16}$;

в) $\frac{3^5\cdot 6^{-6}}{(2^3{)}^{-4}}=\frac{3^5\cdot (2\cdot 3{)}^{-6}}{2^{3\cdot (-4)}}=\frac{3^5\cdot 2^{-6}\cdot 3^{-6}}{2^{-12}}=3^{5-6}\cdot 2^{-6-(-12)}=3^{-1}\cdot 2^6=\frac{2^6}{3}=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}$;

г) $\frac{8^{-3}\cdot {10}^5}{5^6\cdot 2^{-2}}=\frac{(2^3{)}^{-3}\cdot (5\cdot 2{)}^5}{5^6\cdot 2^{-2}}=\frac{2^{-9}\cdot 5^5\cdot 2^5}{5^6\cdot 2^{-2}}=2^{-9+5-(-2)}\cdot 5^{5-6}=2^{-2}\cdot 5^{-1}=$

$=\frac{1}{2^2\cdot 5}=\frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{20}=0,05$

а) $\frac{5^{-4}\cdot {15}^6}{(3^{-5}{)}^{-2}}$

Записываем исходное выражение:

$$\frac{5^{-4}\cdot {15}^6}{(3^{-5}{)}^{-2}}$$

Применяем свойство степени степени:

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

Это позволяет преобразовать выражение $(3^{-5}{)}^{-2}$ в:

$$(3^{-5}{)}^{-2}=3^{-5\cdot (-2)}=3^{10}$$

Таким образом, исходное выражение превращается в:

$$\frac{5^{-4}\cdot {15}^6}{3^{10}}$$

Применяем разложение ${15}^6$:
$15=3\cdot 5$, поэтому ${15}^6=(3\cdot 5{)}^6$. Используем свойство степени произведения $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$:

$$(3\cdot 5{)}^6=3^6\cdot 5^6$$

Теперь выражение становится:

$$\frac{5^{-4}\cdot 3^6\cdot 5^6}{3^{10}}$$

Переносим степени 3 и 5:
Используем свойство степени с одинаковыми основаниями $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ и $a^m\mathrm{/}{a}^n=a^{m-n}$. Таким образом:

• Для 3: $3^6\mathrm{/}{3}^{10}=3^{6-10}=3^{-4}$,
• Для 5: $5^{-4}\cdot 5^6=5^{-4+6}=5^2$.

В результате выражение становится:

$$3^{-4}\cdot 5^2$$

Переписываем окончательное выражение:

$$3^{-4}\cdot 5^2=\frac{5^2}{3^4}$$

Подставляем значения:

$$5^2=25,3^4=81$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{25}{81}$$

б) $\frac{4^3\cdot {14}^{-3}}{7^{-5}\cdot 2^7}$

Записываем исходное выражение:

$$\frac{4^3\cdot {14}^{-3}}{7^{-5}\cdot 2^7}$$

Разлагаем $4^3$ и ${14}^{-3}$:

• $4=2^2$, значит $4^3=(2^2{)}^3=2^6$,
• $14=7\cdot 2$, значит ${14}^{-3}=(7\cdot 2{)}^{-3}=7^{-3}\cdot 2^{-3}$.

Теперь выражение становится:

$$\frac{2^6\cdot 7^{-3}\cdot 2^{-3}}{7^{-5}\cdot 2^7}$$

Переносим степени для одинаковых оснований:

• Для 2: $2^6\cdot 2^{-3}=2^{6-3}=2^3$,
• Для 7: $7^{-3}\mathrm{/}{7}^{-5}=7^{-3+5}=7^2$.

В результате выражение становится:

$$\frac{2^3\cdot 7^2}{2^7}$$

Переносим степени 2:

$$\frac{2^3}{2^7}=2^{3-7}=2^{-4}$$

Таким образом, получаем:

$$2^{-4}\cdot 7^2=\frac{7^2}{2^4}$$

Подставляем значения:

$$7^2=49,2^4=16$$

Получаем:

$$\frac{49}{16}$$

И переводим в смешанное число:

$$\frac{49}{16}=3\frac{1}{16}$$

в) $\frac{3^5\cdot 6^{-6}}{(2^3{)}^{-4}}$

Записываем исходное выражение:

$$\frac{3^5\cdot 6^{-6}}{(2^3{)}^{-4}}$$

Применяем свойство степени степени для $(2^3{)}^{-4}$:

$$(2^3{)}^{-4}=2^{3\cdot (-4)}=2^{-12}$$

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{3^5\cdot 6^{-6}}{2^{-12}}$$

Разлагаем $6^{-6}$:
$6=2\cdot 3$, значит $6^{-6}=(2\cdot 3{)}^{-6}=2^{-6}\cdot 3^{-6}$.

Теперь выражение становится:

$$\frac{3^5\cdot 2^{-6}\cdot 3^{-6}}{2^{-12}}$$

Переносим степени для одинаковых оснований:

• Для 3: $3^5\cdot 3^{-6}=3^{5-6}=3^{-1}$,
• Для 2: $2^{-6}\mathrm{/}{2}^{-12}=2^{-6+12}=2^6$.

Таким образом, выражение превращается в:

$$3^{-1}\cdot 2^6=\frac{2^6}{3}$$

Подставляем значения:

$$2^6=64$$

Получаем:

$$\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}$$

г) $\frac{8^{-3}\cdot {10}^5}{5^6\cdot 2^{-2}}$

Записываем исходное выражение:

$$\frac{8^{-3}\cdot {10}^5}{5^6\cdot 2^{-2}}$$

Разлагаем $8^{-3}$ и ${10}^5$:

• $8=2^3$, значит $8^{-3}=(2^3{)}^{-3}=2^{-9}$,
• $10=2\cdot 5$, значит ${10}^5=(2\cdot 5{)}^5=2^5\cdot 5^5$.

Таким образом, выражение становится:

$$\frac{2^{-9}\cdot 2^5\cdot 5^5}{5^6\cdot 2^{-2}}$$

Переносим степени для одинаковых оснований:

• Для 2: $2^{-9}\cdot 2^5=2^{-9+5}=2^{-4}$, и $2^{-4}\mathrm{/}{2}^{-2}=2^{-4-(-2)}=2^{-2}$,
• Для 5: $5^5\mathrm{/}{5}^6=5^{5-6}=5^{-1}$.

Получаем:

$$2^{-2}\cdot 5^{-1}=\frac{1}{2^2\cdot 5}$$

Подставляем значения:

$$2^2=4$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{20}=0,05$$

Ответы:

• а) $\frac{25}{81}$
• б) $3\frac{1}{16}$
• в) $21\frac{1}{3}$
• г) $0,05$