ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) sin77° · cos17° — sin13° · cos73°;

б) cos125° · cos5° + sin55° · cos85°.

а)

$$\sin 77^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos 73^\circ =$$ $$= \sin(90^\circ — 13^\circ) \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos(90^\circ — 17^\circ) =$$ $$= \sin\left(\frac{\pi}{2} — 13^\circ\right) \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — 17^\circ\right) =$$ $$= \cos 13^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \sin 17^\circ =$$ $$= \cos(13^\circ + 17^\circ) = \cos 30^\circ = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

б)

$$\cos 125^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cdot \cos 85^\circ =$$ $$= \cos(90^\circ + 35^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \sin(90^\circ — 35^\circ) \cdot \cos(90^\circ — 5^\circ) =$$ $$= \cos\left(\frac{\pi}{2} + 35^\circ\right) \cdot \cos 5^\circ + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 35^\circ\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — 5^\circ\right) =$$ $$= -\sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ = \sin(5^\circ — 35^\circ) =$$ $$= \sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $\boxed{-\frac{1}{2}}$.

а)

$$\sin 77^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos 73^\circ$$

Шаг 1: Упрощение углов через формулы приведения

Заметим:

• $\sin 77^\circ = \sin (90^\circ — 13^\circ) = \cos 13^\circ$
• $\cos 73^\circ = \cos (90^\circ — 17^\circ) = \sin 17^\circ$

Подставим:

$$= \cos 13^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \sin 17^\circ$$

Шаг 2: Узнаем, какая формула применяется

Это формула косинуса суммы углов:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos (A + B)$$

Применим с $A = 13^\circ$, $B = 17^\circ$:

$$= \cos (13^\circ + 17^\circ) = \cos 30^\circ$$

Шаг 3: Табличное значение

$$\cos 30^\circ = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

б)

$$\cos 125^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cdot \cos 85^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем углы

• $\cos 125^\circ = \cos(90^\circ + 35^\circ) = -\sin 35^\circ$ — (по формуле приведения, II четверть)
• $\sin 55^\circ = \sin(90^\circ — 35^\circ) = \cos 35^\circ$
• $\cos 85^\circ = \cos(90^\circ — 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставим всё:

$$= (-\sin 35^\circ) \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 2: Группируем

$$= -\sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Переставим слагаемые:

$$= \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ — \sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ$$

Шаг 3: Формула разности синусов

Это формула синуса разности углов:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin (A — B)$$

Тут наоборот порядок, но:

$$\cos A \sin B — \sin A \cos B = -\sin(A — B)$$

Значит:

$$= -\sin (35^\circ — 5^\circ) = -\sin 30^\circ$$

Шаг 4: Табличное значение

$$-\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{1}{2}}$