ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \cos(2\pi + x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$;

б) $\sin(\pi + x) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$;

в) $2 \sin(\pi + x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = -\frac{1}{2}$;

г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) — \cos(2\pi + x) = 1$

а) $2 \cos(2\pi + x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$;
$\mathrm{}$$2 \cos x + \cos x = 3$;
$3 \cos x = 3$;
$\cos x = 1$;
$x = 2\pi n$;
Ответ: $2\pi n$.

б) $\sin(\pi + x) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$;
$$$-\sin x — 2 \sin x = 3$;
$-3 \sin x = 3$;
$\sin x = -1$;
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

в) $2 \sin(\pi + x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = -\frac{1}{2}$;
$\mathrm{}$$-2 \sin x + \sin x = -\frac{1}{2}$;
$-\sin x = -\frac{1}{2}$;
$\sin x = \frac{1}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) — \cos(2\pi + x) = 1$;
$\mathrm{}$$3 \cos x — \cos x = 1$;
$2 \cos x = 1$;
$\cos x = \frac{1}{2}$;
$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а)

$2 \cos(2\pi + x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$

Шаг 1: Преобразуем аргументы функций

• Используем тригонометрические тождества:
  • $\cos(2\pi + x) = \cos x$ — т.к. косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$
  • $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$ — тождество приведения: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

Шаг 2: Подставляем преобразования

$$2 \cos x + \cos x = 3$$

Шаг 3: Приводим подобные слагаемые

$$3 \cos x = 3$$

Шаг 4: Делим обе части на 3

$$\cos x = 1$$

Шаг 5: Находим общее решение

• $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{2\pi n}$

б)

$$\sin(\pi + x) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 3$$

Шаг 1: Преобразуем аргументы

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$ — т.к. синус в III четверти отрицательный
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$ — тождество: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$

Шаг 2: Подставим

$$-\sin x + 2(-\sin x) = 3$$ $$-\sin x — 2\sin x = 3$$

Шаг 3: Сложим

$$-3\sin x = 3$$

Шаг 4: Разделим на -3

$$\sin x = -1$$

Шаг 5: Найдём общее решение

• $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$

в)

$$2 \sin(\pi + x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 1: Преобразуем аргументы

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$
• $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$ — тождество: $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$

Шаг 2: Подставим

$$2(-\sin x) + \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$-2\sin x + \sin x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Упростим

$$-\sin x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Умножим на -1

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Найдём общее решение

• $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$
• $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$
• Следовательно:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ: $\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$

г)

$$3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) — \cos(2\pi + x) = 1$$

Шаг 1: Преобразуем аргументы

• $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$
• $\cos(2\pi + x) = \cos x$

Шаг 2: Подставим

$$3 \cos x — \cos x = 1$$

Шаг 3: Упростим

$$2 \cos x = 1$$

Шаг 4: Разделим на 2

$$\cos x = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Найдём общее решение

• $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$
• $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ: $\boxed{\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$