ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $5\sin (\frac{\pi }{2}+x)-\sin (\frac{3\pi }{2}+x)-8\cos (2\pi -x)=1;$

б) $\sin (2\pi +x)-\cos (\frac{\pi }{2}-x)+\sin (\pi -x)=1$

а) $5\sin (\frac{\pi }{2}+x)-\sin (\frac{3\pi }{2}+x)-8\cos (2\pi -x)=1;$

$5 \cos x — (-\cos x) — 8 \cos x = 1;$

$-2 \cos x = 1;$

$\cos x = -\frac{1}{2};$

$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$

$x = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $\sin (2\pi +x)-\cos (\frac{\pi }{2}-x)+\sin (\pi -x)=1;$

$\sin x — \sin x + \sin x = 1;$

$\sin x = 1;$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$

а)

$$5 \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) — \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) — 8 \cos(2\pi — x) = 1$$

Шаг 1: Преобразуем каждый тригонометрический аргумент

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$
   — по формуле приведения: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$
2. $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$
   — так как $\frac{3\pi}{2} + x = \frac{\pi}{2} + \pi + x \Rightarrow \sin(\frac{\pi}{2} + \pi + x) = -\cos x$
3. $\cos(2\pi — x) = \cos x$
   — по свойству четности: $\cos(-x) = \cos x$, и $\cos(2\pi — x) = \cos x$, так как $\cos$ — $2\pi$-периодична и чётная.

Шаг 2: Подставим преобразования в уравнение

$$5 \cos x — (-\cos x) — 8 \cos x = 1$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$5 \cos x + \cos x — 8 \cos x = 1$$

Шаг 4: Приведем подобные

$$(5 + 1 — 8)\cos x = 1 \Rightarrow -2 \cos x = 1$$

Шаг 5: Разделим обе части на -2

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 6: Найдём общее решение

• Решим $\cos x = -\frac{1}{2}$
• Основное значение: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
• Косинус отрицателен во 2-й и 3-й четвертях:

  $$x = \pm \left(\pi — \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ: $\boxed{\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$

б)

$$\sin(2\pi + x) — \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) + \sin(\pi — x) = 1$$

Шаг 1: Преобразуем каждый аргумент

1. $\sin(2\pi + x) = \sin x$
   — $\sin$ — $2\pi$-периодическая функция
2. $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$
   — по тождеству: $\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x$
3. $\sin(\pi — x) = \sin x$
   — по тождеству: $\sin(\pi — x) = \sin x$

Шаг 2: Подставим

$$\sin x — \sin x + \sin x = 1$$

Шаг 3: Упростим

$$\sin x = 1$$

Шаг 4: Найдём общее решение

• $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$