ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 2 \operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$;

б) $\operatorname{tg} (\pi + x) + 2 \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$;

в) $3 \operatorname{tg}^2 4x — 2 \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — 4x \right) = 1$;

г) $2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 5 = 0$

а) $3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 2 \operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$;

$3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 2 \cdot \left( -\operatorname{tg} \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$;

$3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} + 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 1 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$3y^2 + 2y — 1 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1;$

$y_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$

Первое значение:

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -1;$

$\frac{x}{2} = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Второе значение:

$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{3};$

$\frac{x}{2} = \arctg \frac{1}{3} + \pi n;$

$x = 2 \arctg \frac{1}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, 2 \arctg \frac{1}{3} + 2\pi n$.

б) $\operatorname{tg} (\pi + x) + 2 \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$;

$\operatorname{tg} x — 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$;

$\operatorname{tg} x — \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$y — \frac{2}{y} + 1 = 0;$

$y^2 + y — 2 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$

Первое значение:

$\operatorname{tg} x = -2;$

$x = -\arctg 2 + \pi n;$

Второе значение:

$\operatorname{tg} x = 1;$

$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$

Ответ: $-\arctg 2 + \pi n; \, \frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $3 \operatorname{tg}^2 4x — 2 \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — 4x \right) = 1$;

$3 \operatorname{tg}^2 4x — 2 \operatorname{tg} 4x — 1 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} 4x$, тогда:

$3y^2 — 2y — 1 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$

$y_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;$

Первое значение:

$\operatorname{tg} 4x = -\frac{1}{3};$

$4x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n;$

$x = -\frac{1}{4} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{4};$

Второе значение:

$\operatorname{tg} 4x = 1;$

$4x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$

Ответ: $-\frac{1}{4} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{4}; \, \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$.

г) $2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 5 = 0$;

$\frac{2}{\operatorname{tg} x} — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$\frac{2}{y} — 3y + 5 = 0;$

$2 — 3y^2 + 5y = 0;$

$3y^2 — 5y — 2 = 0;$

$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$

$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$

Первое значение:

$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3};$

$x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n;$

Второе значение:

$\operatorname{tg} x = 2;$

$x = \arctg 2 + \pi n;$

Ответ: $-\arctg \frac{1}{3} + \pi n; \, \arctg 2 + \pi n$.

а)

Решить уравнение:

$$3 \operatorname{tg}^2 \left( \frac{x}{2} \right) — 2 \operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$$

Шаг 1: Преобразование котангенса

Используем тригонометрическую формулу:

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2} \right) = -\operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} \right)$$

Так как:

• $\operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)}$
• $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = -\operatorname{tg}(t)$ (по формуле приведения, так как $\frac{3\pi}{2}$ – нечётный полупериод)

Подставим это:

$$3 \operatorname{tg}^2 \left( \frac{x}{2} \right) — 2 \cdot \left( -\operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} \right) \right) — 1 = 0$$ $$3 \operatorname{tg}^2 \left( \frac{x}{2} \right) + 2 \operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} \right) — 1 = 0$$

Шаг 2: Введение замены

Обозначим:

$$y = \operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} \right)$$

Подставим в уравнение:

$$3y^2 + 2y — 1 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 — 4}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Шаг 4: Возврат к переменной x

Первый корень:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} \right) = -1$$

Вспоминаем:

$$\frac{x}{2} = \arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = 2 \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Второй корень:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x}{2} = \arctg \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n \Rightarrow x = 2 \arctg \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad x = 2 \arctg \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n$$

б)

Решить уравнение:

$$\operatorname{tg} (\pi + x) + 2 \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + x \right) + 1 = 0$$

Шаг 1: Преобразуем с помощью формул приведения

$$\operatorname{tg}(\pi + x) = \operatorname{tg} x$$ $$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\operatorname{ctg} x$$

Подставим:

$$\operatorname{tg} x — 2 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$$

Теперь заменим $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$:

$$\operatorname{tg} x — \frac{2}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, получаем:

$$y — \frac{2}{y} + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2; \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 4: Решения для x

Первый корень:

$$\operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = \arctg(-2) + \pi n = -\arctg 2 + \pi n$$

Второй корень:

$$\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\arctg 2 + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

в)

$$3 \operatorname{tg}^2 4x — 2 \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — 4x \right) = 1$$

Шаг 1: Преобразуем котангенс

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — 4x \right) = \operatorname{tg} 4x$$

(по формуле $\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — \theta \right) = \operatorname{tg} \theta$)

Подставим:

$$3 \operatorname{tg}^2 4x — 2 \operatorname{tg} 4x = 1 \Rightarrow 3 \operatorname{tg}^2 4x — 2 \operatorname{tg} 4x — 1 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть $y = \operatorname{tg} 4x$, получаем:

$$3y^2 — 2y — 1 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3}; \quad y_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$$

Шаг 4: Решения для x

Первый корень:

$$\operatorname{tg} 4x = -\frac{1}{3} \Rightarrow 4x = \arctg(-\frac{1}{3}) + \pi n = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{1}{4} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{4}$$

Второй корень:

$$\operatorname{tg} 4x = 1 \Rightarrow 4x = \arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$x = -\frac{1}{4} \arctg \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{\pi n}{4}; \quad x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

г)

$$2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + 5 = 0$$

Шаг 1: Преобразуем котангенс

$$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \operatorname{tg} x$$

Тогда:

$$2 \operatorname{ctg} x — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

Теперь заменим $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$

$$\frac{2}{\operatorname{tg} x} — 3 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$\frac{2}{y} — 3y + 5 = 0 \Rightarrow 2 — 3y^2 + 5y = 0 \Rightarrow 3y^2 — 5y — 2 = 0$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$y_1 = \frac{5 — 7}{6} = -\frac{1}{3}; \quad y_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2$$

Шаг 4: Найдём x

Первый корень:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \arctg(-\frac{1}{3}) + \pi n = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n$$

Второй корень:

$$\operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \arctg(2) + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\arctg \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n; \quad x = \arctg 2 + \pi n$$