ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) + 2 \cos x \cdot \operatorname{tg} x = 1;$$ $$\sin^2 x + \cos^2 2x + \sin^2 2x + 2 \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 1;$$ $$\sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 1;$$ $$\sin^2 x + 2 \sin x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sin x + 2) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x + 2 = 0;$$ $$\sin x = -2 \quad \text{(корней нет)};$$

Ответ: $\pi n$.

б)

$$2 \cos^2 x — \sin \left( x — \frac{\pi}{2} \right) + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \operatorname{tg} x \cdot (-\operatorname{ctg} x) = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \cos x — \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \neq 0;$$ $$x + \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

а)

Решить уравнение:

$$\sin^2 x + \cos^2 2x + \cos^2\left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) + 2 \cos x \cdot \operatorname{tg} x = 1$$

Шаг 1: Используем основные тригонометрические тождества

Начнём с упрощения каждого слагаемого:

Разложим $\cos^2 2x + \cos^2\left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right)$

Формула приведения:

$$\cos^2\left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) = \sin^2(2x)$$

Пояснение:

$$\cos\left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = \sin(\theta), \quad \text{так как } \cos\left( \frac{3\pi}{2} + \theta \right) = \sin(\theta)$$

Значит:

$$\cos^2 2x + \cos^2\left( \frac{3\pi}{2} + 2x \right) = \cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$$

Шаг 2: Заменим тангенс через синус и косинус

$$2 \cos x \cdot \operatorname{tg} x = 2 \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \sin x$$

Шаг 3: Подставим всё обратно в уравнение

$$\sin^2 x + 1 + 2 \sin x = 1$$

Шаг 4: Упростим уравнение

Вычтем 1 из обеих частей:

$$\sin^2 x + 2 \sin x = 0$$

Вынесем $\sin x$ за скобку:

$$\sin x \cdot (\sin x + 2) = 0$$

Шаг 5: Найдём корни уравнения

1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x + 2 = 0 \Rightarrow \sin x = -2$

Это невозможно, так как $\sin x \in [-1, 1]$

Ответ (а):

$$x = \pi n$$

б)

Решить уравнение:

$$2 \cos^2 x — \sin\left( x — \frac{\pi}{2} \right) + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0$$

Шаг 1: Упростим синус

$$\sin\left( x — \frac{\pi}{2} \right) = -\cos x$$

(по формуле приведения: $\sin(a — \frac{\pi}{2}) = -\cos a$)

Подставим:

$$2 \cos^2 x + \cos x + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0$$

Шаг 2: Упростим произведение тангенсов

Используем:

$$\operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg} x$$

Значит:

$$\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{tg} x \cdot (-\operatorname{ctg} x) = -\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$$ $$= -\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -1 \quad \text{(при } \sin x \ne 0, \cos x \ne 0)$$

Шаг 3: Подставим в уравнение

$$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$$

Шаг 4: Замена переменной

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1; \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Найдём значения x

1) $\cos x = -1$

$$x = \pi + 2\pi n$$

2) $\cos x = \frac{1}{2}$

$$x = \pm \arccos \left( \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7: Проверка области допустимых значений

В уравнении есть выражение:

$$\operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$$

Это не определено, если:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 0 \Rightarrow x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi n$$

То есть $x \ne \pi n$

Проверим, подходят ли найденные решения:

• $x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \pi n$ — не подходит (ОДЗ нарушено)
• $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — подходит

Ответ (б):

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$