ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=\sin (3\pi +3x)\cdot \sin (\frac{3\pi }{2}-x)+\sin (\frac{\pi }{2}+3x)\cdot \sin (4\pi -x)+\sin \frac{99\pi }{2};$

б) $y=\cos (\pi +x)\cdot \cos (3\pi -\frac{x}{2})-\cos (\frac{\pi }{2}+x)\cdot \cos \frac{3\pi +x}{2}+\cos$$\frac{16\pi }{3}$

а) $y=\sin (3\pi +3x)\cdot \sin (\frac{3\pi }{2}-x)+\sin (\frac{\pi }{2}+3x)\cdot \sin (4\pi -x)+\sin \frac{99\pi }{2}$$$

$y = -\sin 3x \cdot (-\cos x) + \cos 3x \cdot (-\sin x) + \sin\left(50\pi — \frac{\pi}{2}\right);$

$y = \sin 3x \cdot \cos x — \cos 3x \cdot \sin x — \sin \frac{\pi}{2};$

$y = \sin(3x — x) — 1 = \sin 2x — 1;$

1) Построим одну дугу графика функции $y = \sin x$, а затем:

• Совершим ее сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;
• Переместим ее на 1 единицу вниз вдоль оси ординат;

2) Достроим график функции:

б) $y=\cos (\pi +x)\cdot \cos (3\pi -\frac{x}{2})-\cos (\frac{\pi }{2}+x)\cdot \cos \frac{3\pi +x}{2}+\cos \frac{16\pi }{3}$$$$$

$y = -\cos x \cdot \left(-\cos \frac{x}{2}\right) — (-\sin x) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) + \cos\left(5\pi + \frac{\pi}{3}\right);$

$y = \cos x \cdot \cos \frac{x}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{x}{2} — \cos \frac{\pi}{3};$

$y = \cos\left(x — \frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2} = \cos \frac{x}{2} — \frac{1}{2};$

1) Построим одну дугу графика функции $y = \cos x$, а затем:

• Совершим ее растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$;
• Переместим ее на 0,5 единицы вниз вдоль оси ординат;

2) Достроим график функции:

а)

Имеем выражение:

$$y = \sin(3\pi + 3x) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \sin(4\pi — x) + \sin\frac{99\pi}{2}$$

Шаг 1: Упрощение тригонометрических выражений

Первая часть:

$$\sin(3\pi + 3x) = -\sin 3x \quad \text{(так как } \sin(\theta + \pi) = -\sin \theta\text{)}$$ $$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x \quad \text{(формула: } \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x\text{)}$$

Значит:

$$\sin(3\pi + 3x) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = (-\sin 3x) \cdot (-\cos x) = \sin 3x \cdot \cos x$$

Вторая часть:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = \cos 3x \quad \text{(формула: } \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\text{)}$$ $$\sin(4\pi — x) = -\sin x \quad \text{(формула: } \sin(2\pi — x) = -\sin x\text{, т.к. 4π кратно 2π)}$$

Значит:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \cdot \sin(4\pi — x) = \cos 3x \cdot (-\sin x) = -\cos 3x \cdot \sin x$$

Третья часть:

$$\sin\left(\frac{99\pi}{2}\right)$$

Упростим:

$$\frac{99\pi}{2} = \frac{100\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 50\pi — \frac{\pi}{2}$$

Поскольку $\sin(2\pi n — x) = -\sin x$, то:

$$\sin\left(50\pi — \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Шаг 2: Собираем все

$$y = \sin 3x \cdot \cos x — \cos 3x \cdot \sin x — 1$$

Шаг 3: Используем формулу разности синусов

$$\sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B = \sin(A — B)$$

Применим:

$$y = \sin(3x — x) — 1 = \sin 2x — 1$$

График: $y = \sin 2x — 1$

1. Построение базовой функции $y = \sin x$

• Функция периодическая, период: $2\pi$
• Амплитуда: 1
• Значения: от -1 до 1

2. Преобразования

Сжатие к оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$
Получаем: $y = \sin 2x$
Период становится:

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

Смещение на 1 вниз вдоль оси ординат
Получаем итоговую функцию:

$$y = \sin 2x — 1$$

3. Итог

Функция $y = \sin 2x — 1$ — это:

• Сжатый в 2 раза по оси X синус
• Сдвинут на 1 вниз
• Значения: от -2 до 0
• Период: $\pi$

б)

Дано:

$$y = \cos(\pi + x) \cdot \cos\left(3\pi — \frac{x}{2}\right) — \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi + x}{2}\right) + \cos\left(\frac{16\pi}{3}\right)$$

Шаг 1: Упрощение

Первая часть:

$$\cos(\pi + x) = -\cos x$$ $$\cos\left(3\pi — \frac{x}{2}\right) = -\cos \frac{x}{2}$$

(аналогично, т.к. $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$)

Итак:

$$\cos(\pi + x) \cdot \cos\left(3\pi — \frac{x}{2}\right) = (-\cos x) \cdot (-\cos \frac{x}{2}) = \cos x \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Вторая часть:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$ $$\cos\left(\frac{3\pi + x}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right)$$

Формула:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot (-1)$$

(т.к. $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\sin x$)

Итак:

$$-\sin x \cdot (-\sin \frac{x}{2}) = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Третья часть:

$$\cos\left(\frac{16\pi}{3}\right)$$

Приведем к основному углу:

$$\frac{16\pi}{3} = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = 2\pi \cdot 2 + \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(\frac{16\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 2: Собираем

$$y = \cos x \cdot \cos \frac{x}{2} + \sin x \cdot \sin \frac{x}{2} — \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Используем формулу косинуса разности

$$\cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B = \cos(A — B)$$

Значит:

$$y = \cos\left(x — \frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2}$$

График: $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2}$

1. Базовая функция $y = \cos x$

• Период: $2\pi$
• Амплитуда: 1
• Значения: от -1 до 1

2. Преобразования

Растяжение от оси $Oy$ с коэффициентом $k = 2$
$y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$
Период становится:

$$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$$

Смещение на 0.5 вниз
Получаем:

$$y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2}$$

3. Итог

Функция $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) — \frac{1}{2}$:

• Период: $4\pi$
• Значения: от $-1.5$ до $0.5$
• График — волнообразный, растянут по оси $x$ в 2 раза и опущен вниз на 0.5