ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\arcsin (-\cos \frac{4\pi }{5})$

б) $\arccos (\cos (-\frac{24\pi }{5}))$

в) $\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{5}))$

г) $\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{27\pi }{7})$

а) $\arcsin (-\cos \frac{4\pi }{5})=-\arcsin (\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{10}))=-\arcsin (-\sin \frac{3\pi }{10})=$

$=\arcsin (\sin \frac{3\pi }{10})=\frac{3\pi }{10}$;

Ответ: $\frac{3\pi }{10}$.

б) $\arccos (\cos (-\frac{24\pi }{5}))=\arccos (\cos \frac{24\pi }{5})=\arccos (\cos (4\pi +\frac{4\pi }{5}))=$

$=\arccos (\cos \frac{4\pi }{5})=\frac{4\pi }{5}$;

Ответ: $\frac{4\pi }{5}$.

в) $\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{5}))=-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}\frac{21\pi }{5})=-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(4\pi +\frac{\pi }{5}))=$

$=-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}\frac{\pi }{5})=$$-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{10}))=-\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}\frac{3\pi }{10})=-\frac{3\pi }{10}$;$$

Ответ: $-\frac{3\pi }{10}$.

г) $\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{27\pi }{7})=\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}(3\pi +\frac{6\pi }{7}))=\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{6\pi }{7})=$

$=\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}-\frac{9\pi }{14}))=\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\frac{9\pi }{14})=\frac{9\pi }{14}$;

Ответ: $\frac{9\pi }{14}$.

а)

$$\arcsin (-\cos \frac{4\pi }{5})$$

Шаг 1: Упростим $\cos \frac{4\pi }{5}$

• $\frac{4\pi }{5}=\pi -\frac{\pi }{5}$
• Тогда:$$\cos (\pi -\frac{\pi }{5})=-\cos \frac{\pi }{5}$$

Следовательно:

$$\cos \frac{4\pi }{5}=-\cos \frac{\pi }{5}\Rightarrow -\cos \frac{4\pi }{5}=\cos \frac{\pi }{5}$$

Шаг 2: Запишем иначе

$$-\cos \frac{4\pi }{5}=-\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{10})$$

Так как:

$$\frac{4\pi }{5}=\frac{8\pi }{10}=\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{10}$$

Значит:

$$-\cos \frac{4\pi }{5}=-\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{10})$$

Шаг 3: Преобразуем косинус суммы

Формула:

$$\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sin x$$

Применим:

$$-\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{3\pi }{10})=-(-\sin \frac{3\pi }{10})=\sin \frac{3\pi }{10}$$

Шаг 4: Получаем

$$\arcsin (-\cos \frac{4\pi }{5})=\arcsin (\sin \frac{3\pi }{10})$$

$\frac{3\pi }{10}\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, значит:

$$\arcsin (\sin x)=x\Rightarrow \arcsin (\sin \frac{3\pi }{10})=\frac{3\pi }{10}$$

Ответ: $\frac{3\pi }{10}$

б)

$$\arccos (\cos (-\frac{24\pi }{5}))$$

Шаг 1: Четность косинуса

$$\cos (-x)=\cos x\Rightarrow \cos (-\frac{24\pi }{5})=\cos \left(\frac{24\pi }{5}\right)$$

Шаг 2: Упростим $\frac{24\pi }{5}$

Разделим:

$$\frac{24\pi }{5}=4\pi +\frac{4\pi }{5}$$

Так как косинус — $2\pi$-периодическая функция:

$$\cos (4\pi +\frac{4\pi }{5})=\cos \frac{4\pi }{5}$$

Шаг 3: Тогда:

$$\arccos (\cos (-\frac{24\pi }{5}))=\arccos (\cos \frac{4\pi }{5})$$

$\frac{4\pi }{5}\in [0,\pi ]$, значит:

$$\arccos (\cos x)=x\Rightarrow \arccos (\cos \frac{4\pi }{5})=\frac{4\pi }{5}$$

Ответ: $\frac{4\pi }{5}$

в)

$$\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{5}))$$

Шаг 1: Нечетность котангенса

$$\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x\Rightarrow \mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(-x))=-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}x)$$

Значит:

$$\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}(-\frac{21\pi }{5}))=-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}\frac{21\pi }{5})$$

Шаг 2: Приведем $\frac{21\pi }{5}$ к виду с периодом

$$\frac{21\pi }{5}=4\pi +\frac{\pi }{5}\text{(так как }4\pi =\frac{20\pi }{5})$$

Котангенс — $\pi$-периодическая функция:

$$\mathrm{ctg}(4\pi +\frac{\pi }{5})=\mathrm{ctg}\frac{\pi }{5}$$

Шаг 3: Перепишем:

$$-\mathrm{arctg}(\mathrm{ctg}\frac{\pi }{5})$$

Шаг 4: Преобразуем котангенс

$$\mathrm{ctg}x=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-x)$$

Тогда:

$$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{5}=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5})=\mathrm{tg}\left(\frac{3\pi }{10}\right)$$

Шаг 5: Подставим:

$$-\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}\frac{3\pi }{10})=-\frac{3\pi }{10}\text{(так как }\frac{3\pi }{10}\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\text{ — область определения }\mathrm{arctg}\text{)}$$

Ответ: $-\frac{3\pi }{10}$

г)

$$\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{27\pi }{7})$$

Шаг 1: Разложим

$$\frac{27\pi }{7}=3\pi +\frac{6\pi }{7}$$

Тангенс — $\pi$-периодическая функция:

$$\mathrm{tg}(3\pi +\frac{6\pi }{7})=\mathrm{tg}\frac{6\pi }{7}$$

Значит:

$$\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{27\pi }{7})=\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{6\pi }{7})$$

Шаг 2: Преобразуем тангенс

Формула:

$$\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}-x)=\mathrm{ctg}x$$

Выразим:

$$\frac{6\pi }{7}=\frac{3\pi }{2}-\frac{9\pi }{14}$$

Проверим:

$$\frac{3\pi }{2}-\frac{9\pi }{14}=\frac{21\pi -18\pi }{14}=\frac{3\pi }{14}\mathrm{\ne }\frac{6\pi }{7}$$

Ошибка — неправильно выбрано представление.

Пробуем по-другому:

Пусть:

$$\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\mathrm{ctg}\alpha \Rightarrow \alpha =\frac{9\pi }{14}$$

Проверим:

$$\frac{3\pi }{2}-\frac{9\pi }{14}=\frac{21\pi -18\pi }{14}=\frac{3\pi }{14}$$

Значит:

$$\mathrm{tg}\frac{6\pi }{7}=\mathrm{tg}(\frac{3\pi }{2}-\frac{9\pi }{14})=\mathrm{ctg}\frac{9\pi }{14}$$

Следовательно:

$$\mathrm{arcctg}(\mathrm{tg}\frac{6\pi }{7})=\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\frac{9\pi }{14})$$

$\frac{9\pi }{14}\in (0,\pi )$, область определения arcctg.

$$\mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}x)=x\Rightarrow \mathrm{arcctg}(\mathrm{ctg}\frac{9\pi }{14})=\frac{9\pi }{14}$$

Ответ: $\frac{9\pi }{14}$

Итог:

а) $\frac{3\pi }{10}$
б) $\frac{4\pi }{5}$
в) $-\frac{3\pi }{10}$
г) $\frac{9\pi }{14}$