ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.36 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Вычислите:

а) $\arcsin (- \cos \frac{4 π}{5})$

б) $\arccos (\cos (- \frac{24 π}{5}))$

в) $arctg (ctg (- \frac{21 π}{5}))$

г) $arcctg (tg \frac{27 π}{7})$

Краткий ответ

а) $\arcsin (- \cos \frac{4 π}{5}) = - \arcsin (\cos (\frac{π}{2} + \frac{3 π}{10})) = - \arcsin (- \sin \frac{3 π}{10}) =$

$= \arcsin (\sin \frac{3 π}{10}) = \frac{3 π}{10}$ ;

Ответ: $\frac{3 π}{10}$ .

б) $\arccos (\cos (- \frac{24 π}{5})) = \arccos (\cos \frac{24 π}{5}) = \arccos (\cos (4 π + \frac{4 π}{5})) =$

$= \arccos (\cos \frac{4 π}{5}) = \frac{4 π}{5}$ ;

Ответ: $\frac{4 π}{5}$ .

в) $arctg (ctg (- \frac{21 π}{5})) = - arctg (ctg \frac{21 π}{5}) = - arctg (ctg (4 π + \frac{π}{5})) =$

$= - arctg (ctg \frac{π}{5}) =$ $- arctg (ctg (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})) = - arctg (tg \frac{3 π}{10}) = - \frac{3 π}{10}$ ;

Ответ: $- \frac{3 π}{10}$ .

г) $arcctg (tg \frac{27 π}{7}) = arcctg (tg (3 π + \frac{6 π}{7})) = arcctg (tg \frac{6 π}{7}) =$

$= arcctg (tg (\frac{3 π}{2} - \frac{9 π}{14})) = arcctg (ctg \frac{9 π}{14}) = \frac{9 π}{14}$ ;

Ответ: $\frac{9 π}{14}$ .

Подробный ответ

а)

$\arcsin (- \cos \frac{4 π}{5})$

Шаг 1: Упростим $\cos \frac{4 π}{5}$

$\frac{4 π}{5} = π - \frac{π}{5}$
Тогда: $\cos (π - \frac{π}{5}) = - \cos \frac{π}{5}$

Следовательно:

$\cos \frac{4 π}{5} = - \cos \frac{π}{5} \Rightarrow - \cos \frac{4 π}{5} = \cos \frac{π}{5}$

Шаг 2: Запишем иначе

$- \cos \frac{4 π}{5} = - \cos (\frac{π}{2} + \frac{3 π}{10})$

Так как:

$\frac{4 π}{5} = \frac{8 π}{10} = \frac{π}{2} + \frac{3 π}{10}$

Значит:

$- \cos \frac{4 π}{5} = - \cos (\frac{π}{2} + \frac{3 π}{10})$

Шаг 3: Преобразуем косинус суммы

Формула:

$\cos (\frac{π}{2} + x) = - \sin x$

Применим:

$- \cos (\frac{π}{2} + \frac{3 π}{10}) = - (- \sin \frac{3 π}{10}) = \sin \frac{3 π}{10}$

Шаг 4: Получаем

$\arcsin (- \cos \frac{4 π}{5}) = \arcsin (\sin \frac{3 π}{10})$

$\frac{3 π}{10} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , значит:

$\arcsin (\sin x) = x \Rightarrow \arcsin (\sin \frac{3 π}{10}) = \frac{3 π}{10}$

Ответ: $\frac{3 π}{10}$

б)

$\arccos (\cos (- \frac{24 π}{5}))$

Шаг 1: Четность косинуса

$\cos (- x) = \cos x \Rightarrow \cos (- \frac{24 π}{5}) = \cos (\frac{24 π}{5})$

Шаг 2: Упростим $\frac{24 π}{5}$

Разделим:

$\frac{24 π}{5} = 4 π + \frac{4 π}{5}$

Так как косинус — $2 π$ -периодическая функция:

$\cos (4 π + \frac{4 π}{5}) = \cos \frac{4 π}{5}$

Шаг 3: Тогда:

$\arccos (\cos (- \frac{24 π}{5})) = \arccos (\cos \frac{4 π}{5})$

$\frac{4 π}{5} \in [0, π]$ , значит:

$\arccos (\cos x) = x \Rightarrow \arccos (\cos \frac{4 π}{5}) = \frac{4 π}{5}$

Ответ: $\frac{4 π}{5}$

в)

$arctg (ctg (- \frac{21 π}{5}))$

Шаг 1: Нечетность котангенса

$ctg (- x) = - ctg x \Rightarrow arctg (ctg (- x)) = - arctg (ctg x)$

Значит:

$arctg (ctg (- \frac{21 π}{5})) = - arctg (ctg \frac{21 π}{5})$

Шаг 2: Приведем $\frac{21 π}{5}$ к виду с периодом

$\frac{21 π}{5} = 4 π + \frac{π}{5} (так как 4 π = \frac{20 π}{5})$

Котангенс — $π$ -периодическая функция:

$ctg (4 π + \frac{π}{5}) = ctg \frac{π}{5}$

Шаг 3: Перепишем:

$- arctg (ctg \frac{π}{5})$

Шаг 4: Преобразуем котангенс

$ctg x = tg (\frac{π}{2} - x)$

Тогда:

$ctg \frac{π}{5} = tg (\frac{π}{2} - \frac{π}{5}) = tg (\frac{3 π}{10})$

Шаг 5: Подставим:

$- arctg (tg \frac{3 π}{10}) = - \frac{3 π}{10} (так как \frac{3 π}{10} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) — область определения arctg)$

Ответ: $- \frac{3 π}{10}$

г)

$arcctg (tg \frac{27 π}{7})$

Шаг 1: Разложим

$\frac{27 π}{7} = 3 π + \frac{6 π}{7}$

Тангенс — $π$ -периодическая функция:

$tg (3 π + \frac{6 π}{7}) = tg \frac{6 π}{7}$

Значит:

$arcctg (tg \frac{27 π}{7}) = arcctg (tg \frac{6 π}{7})$

Шаг 2: Преобразуем тангенс

Формула:

$tg (\frac{3 π}{2} - x) = ctg x$

Выразим:

$\frac{6 π}{7} = \frac{3 π}{2} - \frac{9 π}{14}$

Проверим:

$\frac{3 π}{2} - \frac{9 π}{14} = \frac{21 π - 18 π}{14} = \frac{3 π}{14} \neq \frac{6 π}{7}$

Ошибка — неправильно выбрано представление.

Пробуем по-другому:

Пусть:

$tg (\frac{3 π}{2} - α) = ctg α \Rightarrow α = \frac{9 π}{14}$

Проверим:

$\frac{3 π}{2} - \frac{9 π}{14} = \frac{21 π - 18 π}{14} = \frac{3 π}{14}$

Значит:

$tg \frac{6 π}{7} = tg (\frac{3 π}{2} - \frac{9 π}{14}) = ctg \frac{9 π}{14}$

Следовательно:

$arcctg (tg \frac{6 π}{7}) = arcctg (ctg \frac{9 π}{14})$

$\frac{9 π}{14} \in (0, π)$ , область определения arcctg.

$arcctg (ctg x) = x \Rightarrow arcctg (ctg \frac{9 π}{14}) = \frac{9 π}{14}$

Ответ: $\frac{9 π}{14}$

Итог:

а) $\frac{3 π}{10}$
б) $\frac{4 π}{5}$
в) $- \frac{3 π}{10}$
г) $\frac{9 π}{14}$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.4 / 5

Комментарии

Добавить комментарий Отменить ответ

Другие предметы

Алгебра

7-10 класс

7 10 10