ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростить выражение:

а) $\operatorname{tg}(90^\circ — a) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \operatorname{ctg} a;$

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2};$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — a\right) > 0;$$

Ответ: $\operatorname{ctg} a$.

б) $\operatorname{ctg}(180^\circ — a) = \operatorname{ctg}(\pi — a) = -\operatorname{ctg} a;$

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$\frac{\pi}{2} < \pi — a < \pi;$$ $$\operatorname{ctg}(\pi — a) < 0;$$

Ответ: $-\operatorname{ctg} a$.

в) $\operatorname{tg}(270^\circ + a) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\operatorname{ctg} a;$

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$\frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + a < 2\pi;$$ $$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) < 0;$$

Ответ: $-\operatorname{ctg} a$.

г) $\operatorname{ctg}(360^\circ + a) = \operatorname{ctg}(2\pi + a) = \operatorname{ctg} a;$

Определим знак функции:

$$0 < a < \frac{\pi}{2};$$ $$2\pi < 2\pi + a < \frac{5\pi}{2};$$ $$\operatorname{ctg}(2\pi + a) > 0;$$

Ответ: $\operatorname{ctg} a$.

а) $\operatorname{tg}(90^\circ — a) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$90^\circ = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \operatorname{tg}(90^\circ — a) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \operatorname{ctg} x \Rightarrow \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \operatorname{ctg} a$$

Это — стандартная формула приведения для тангенса:

• Тангенс меняется на котангенс.
• Знак положительный, так как $\frac{\pi}{2} — a$ лежит в первой четверти, где $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ положительны.

Шаг 3: Определим знак

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2}$$

А значит:

• Аргумент $\frac{\pi}{2} — a$ лежит в первой четверти.
• В первой четверти $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ > 0.

Ответ: $\operatorname{ctg} a$

б) $\operatorname{ctg}(180^\circ — a) = \operatorname{ctg}(\pi — a)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$180^\circ = \pi \Rightarrow \operatorname{ctg}(180^\circ — a) = \operatorname{ctg}(\pi — a)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\operatorname{ctg}(\pi — x) = -\operatorname{ctg} x \Rightarrow \operatorname{ctg}(\pi — a) = -\operatorname{ctg} a$$

• Это также формула приведения.
• При переходе через $\pi$, котангенс меняет знак.

Шаг 3: Определим знак

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2} < \pi — a < \pi$$

Значит:

• Аргумент $\pi — a$ находится во второй четверти.
• Во второй четверти: $\operatorname{ctg} < 0$

Также:

$$\operatorname{ctg} a > 0 \Rightarrow -\operatorname{ctg} a < 0$$

Ответ: $-\operatorname{ctg} a$

в) $\operatorname{tg}(270^\circ + a) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$270^\circ = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow \operatorname{tg}(270^\circ + a) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$$

Шаг 2: Используем формулу приведения

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg} x \Rightarrow \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\operatorname{ctg} a$$

• При переходе через $\frac{3\pi}{2}$, тангенс превращается в котангенс.
• Знак минус, так как тангенс в четвёртой четверти отрицателен.

Шаг 3: Определим знак

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{3\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} + a < 2\pi$$

Значит:

• Аргумент лежит в четвёртой четверти
• В четвёртой четверти $\operatorname{tg} < 0$, $\operatorname{ctg} < 0$

$$\operatorname{ctg} a > 0 \Rightarrow -\operatorname{ctg} a < 0$$

Ответ: $-\operatorname{ctg} a$

г) $\operatorname{ctg}(360^\circ + a) = \operatorname{ctg}(2\pi + a)$

Шаг 1: Переводим градусы в радианы

$$360^\circ = 2\pi \Rightarrow \operatorname{ctg}(360^\circ + a) = \operatorname{ctg}(2\pi + a)$$

Шаг 2: Используем периодичность котангенса

$$\operatorname{ctg}(2\pi + x) = \operatorname{ctg} x \Rightarrow \operatorname{ctg}(2\pi + a) = \operatorname{ctg} a$$

• Котангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, тем более $2\pi$.
• Поэтому значения повторяются: $\operatorname{ctg}(x + 2\pi) = \operatorname{ctg}(x)$

Шаг 3: Определим знак

Условие:

$$0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2\pi < 2\pi + a < \frac{5\pi}{2}$$

Значит:

• Аргумент $2\pi + a$ эквивалентен углу $a$, т.е. находится в первой четверти
• В первой четверти $\operatorname{ctg} > 0$

$$\operatorname{ctg}(2\pi + a) > 0, \quad \operatorname{ctg} a > 0$$

Ответ: $\operatorname{ctg} a$