ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите с помощью формул приведения:

а) $\cos \frac{5\pi }{3}$

б) $\sin (-\frac{11\pi }{6})$

в) $\sin \frac{7\pi }{6}$

г) $\cos (-\frac{7\pi }{3})$

а) $\cos \frac{5\pi}{3} = \cos \left( 2\pi — \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\sin \left( -\frac{11\pi}{6} \right) = -\sin \frac{11\pi}{6} = -\sin \left( 2\pi — \frac{\pi}{6} \right) = -\left( -\sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\sin \frac{7\pi}{6} = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $\cos \left( -\frac{7\pi}{3} \right) = \cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

а) $\cos \frac{5\pi}{3}$

Шаг 1: Представим угол через полный оборот

$$\frac{5\pi}{3} = 2\pi — \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos \frac{5\pi}{3} = \cos\left(2\pi — \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 2: Формула приведения

$$\cos(2\pi — x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(2\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Вычисление значения

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$

Шаг 1: Используем свойство нечётности синуса

$$\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)$$

Шаг 2: Представим угол как $2\pi — \frac{\pi}{6}$

$$\frac{11\pi}{6} = 2\pi — \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\sin\left(2\pi — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3: Применим формулу приведения

$$\sin(2\pi — x) = -\sin x \Rightarrow -\sin\left(2\pi — \frac{\pi}{6}\right) = -(-\sin \frac{\pi}{6}) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 4: Вычисление значения

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\sin \frac{7\pi}{6}$

Шаг 1: Представим угол как $\pi + \frac{\pi}{6}$

$$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \Rightarrow \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 2: Формула приведения

$$\sin(\pi + x) = -\sin x \Rightarrow \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3: Вычисление значения

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

г) $\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right)$

Шаг 1: Используем чётность косинуса

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)$$

Шаг 2: Упростим угол

$$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 3: Формула периодичности

$$\cos(2\pi + x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$

Шаг 4: Вычисление значения

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$