ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите с помощью формул приведения:

a) sin3090°;

б) tg2205°;

в) cos4650°;

г) ctg4110°.

а) $\sin {3090}^{\circ }=\sin (8\cdot {360}^{\circ }+{210}^{\circ })=\sin {210}^{\circ }=\sin ({270}^{\circ }-{60}^{\circ })=$

$=\sin (\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{3})=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$;

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) $\mathrm{tg}{2205}^{\circ }=\mathrm{tg}(12\cdot {180}^{\circ }+{45}^{\circ })=\mathrm{tg}{45}^{\circ }=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$;

Ответ: $1$.

в) $\cos {4650}^{\circ }=\cos (12\cdot {360}^{\circ }+{330}^{\circ })=\cos {330}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })=$

$=\cos (2\pi -\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $\mathrm{ctg}{4110}^{\circ }=\mathrm{ctg}(22\cdot {180}^{\circ }+{150}^{\circ })=\mathrm{ctg}{150}^{\circ }=\mathrm{ctg}({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=$

$=\mathrm{ctg}(\pi -\frac{\pi }{6})=-\mathrm{ctg}\frac{\pi }{6}=-\sqrt{3}$;

Ответ: $-\sqrt{3}$.

а) $\sin {3090}^{\circ }$

Шаг 1: Упростим угол, убрав полные обороты

Один оборот: ${360}^{\circ }$

$${3090}^{\circ }=8\cdot {360}^{\circ }+{210}^{\circ }\Rightarrow \sin {3090}^{\circ }=\sin {210}^{\circ }$$

Шаг 2: Преобразуем 210° как ${270}^{\circ }-{60}^{\circ }$

$$\sin {210}^{\circ }=\sin ({270}^{\circ }-{60}^{\circ })$$

Шаг 3: Переведём в радианы

$${270}^{\circ }=\frac{3\pi }{2},{60}^{\circ }=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \sin ({270}^{\circ }-{60}^{\circ })=\sin (\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{3})$$

Шаг 4: Применим формулу приведения

$$\sin (\frac{3\pi }{2}-x)=-\cos x\Rightarrow \sin (\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{3})=-\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$$

Шаг 5: Подставим значение

$$\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow -\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

б) $\mathrm{tg}{2205}^{\circ }$

Шаг 1: Разложим угол через ${180}^{\circ }$

$${2205}^{\circ }=12\cdot {180}^{\circ }+{45}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{tg}{2205}^{\circ }=\mathrm{tg}{45}^{\circ }$$

Шаг 2: Переведём в радианы

$${45}^{\circ }=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \mathrm{tg}{45}^{\circ }=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}\right)$$

Шаг 3: Подставим значение

$$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$$

Ответ: $1$

в) $\cos {4650}^{\circ }$

Шаг 1: Упростим угол, убрав полные обороты

$${4650}^{\circ }=12\cdot {360}^{\circ }+{330}^{\circ }\Rightarrow \cos {4650}^{\circ }=\cos {330}^{\circ }$$

Шаг 2: Представим как ${360}^{\circ }-{30}^{\circ }$

$$\cos {330}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })$$

Шаг 3: Переведём в радианы

$${360}^{\circ }=2\pi ,{30}^{\circ }=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos (2\pi -\frac{\pi }{6})$$

Шаг 4: Применим формулу приведения

$$\cos (2\pi -x)=\cos x\Rightarrow \cos (2\pi -\frac{\pi }{6})=\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)$$

Шаг 5: Подставим значение

$$\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) $\mathrm{ctg}{4110}^{\circ }$

Шаг 1: Разложим угол через ${180}^{\circ }$

$${4110}^{\circ }=22\cdot {180}^{\circ }+{150}^{\circ }\Rightarrow \mathrm{ctg}{4110}^{\circ }=\mathrm{ctg}{150}^{\circ }$$

Шаг 2: Представим 150° как ${180}^{\circ }-{30}^{\circ }$

$$\mathrm{ctg}{150}^{\circ }=\mathrm{ctg}({180}^{\circ }-{30}^{\circ })$$

Шаг 3: Переведём в радианы

$${180}^{\circ }=\pi ,{30}^{\circ }=\frac{\pi }{6}\Rightarrow \mathrm{ctg}({180}^{\circ }-{30}^{\circ })=\mathrm{ctg}(\pi -\frac{\pi }{6})$$

Шаг 4: Применим формулу приведения

$$\mathrm{ctg}(\pi -x)=-\mathrm{ctg}x\Rightarrow \mathrm{ctg}(\pi -\frac{\pi }{6})=-\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{6}\right)$$

Шаг 5: Подставим значение

$$\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow -\sqrt{3}$$

Ответ: $-\sqrt{3}$