ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 26.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sin ({90}^{\circ }-a)+\cos ({180}^{\circ }+a)+\mathrm{tg}({270}^{\circ }+a)+\mathrm{ctg}({360}^{\circ }+a)$

б) $\sin (\frac{\pi }{2}+t)-\cos (\pi -t)+\mathrm{tg}(\pi -t)+\mathrm{ctg}(\frac{5\pi }{2}-t)$

Упростить выражение:

а) $\sin(90^\circ — a) + \cos(180^\circ + a) + \tg(270^\circ + a) + \ctg(360^\circ + a) =$

$= \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) + \cos(\pi + a) + \tg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) + \ctg(2\pi + a) =$

$= \cos a — \cos a — \ctg a + \ctg a = 0;$

Ответ: $0$.

б) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(\pi — t) + \tg(\pi — t) + \ctg\left(\frac{5\pi}{2} — t\right) =$

$= \cos t — (-\cos t) — \tg t + \tg t = \cos t + \cos t = 2 \cos t;$

Ответ: $2 \cos t$.

а)

$$\sin(90^\circ — a) + \cos(180^\circ + a) + \tg(270^\circ + a) + \ctg(360^\circ + a)$$

Шаг 1: Переведём градусы в радианы

$$= \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) + \cos(\pi + a) + \tg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) + \ctg(2\pi + a)$$

Шаг 2: Применим тригонометрические формулы приведения

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$
   Формула: $\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$

   $$\Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \cos a$$

2. $\cos(\pi + a)$
   Формула: $\cos(\pi + x) = -\cos x$

   $$\Rightarrow \cos(\pi + a) = -\cos a$$

3. $\tg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right)$
   Формула: $\tg\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\ctg x$

   $$\Rightarrow \tg\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\ctg a$$

4. $\ctg(2\pi + a)$
   Формула: $\ctg(2\pi + x) = \ctg x$

   $$\Rightarrow \ctg(2\pi + a) = \ctg a$$

Шаг 3: Подставим всё обратно

$$= \cos a + (-\cos a) + (-\ctg a) + \ctg a$$ $$= \cos a — \cos a — \ctg a + \ctg a = 0$$

Ответ: $0$

б)

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(\pi — t) + \tg(\pi — t) + \ctg\left(\frac{5\pi}{2} — t\right)$$

Шаг 1: Применим формулы приведения

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right)$
   Формула: $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

   $$\Rightarrow \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cos t$$

2. $\cos(\pi — t)$
   Формула: $\cos(\pi — x) = -\cos x$

   $$\Rightarrow \cos(\pi — t) = -\cos t$$

3. $\tg(\pi — t)$
   Формула: $\tg(\pi — x) = -\tg x$

   $$\Rightarrow \tg(\pi — t) = -\tg t$$

4. $\ctg\left(\frac{5\pi}{2} — t\right)$
   Заметим: $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$,
   значит:

   $$\ctg\left(\frac{5\pi}{2} — t\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{2} + (2\pi — t)\right) = \tg t$$

   (по формуле: $\ctg\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \tg x$, а значит, здесь по симметрии — тоже $\tg t$)

Шаг 2: Подставим всё обратно

$$= \cos t — (-\cos t) — \tg t + \tg t = \cos t + \cos t = 2 \cos t$$

Ответ: $2 \cos t$