ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{\sin 2t}{\cos t}-\sin t$

б) $\frac{\sin 6t}{{\cos }^{2}3t}=\frac{2\sin 3t\cdot \cos 3t}{{\cos }^{2}3t}$

в) ${\cos }^{2}t-\cos 2t$

г) $\frac{\cos 2t}{\cos t-\sin t}\mathrm{-\; sin}t$

Упростить выражение:

а) $\frac{\sin 2t}{\cos t}-\sin t=\frac{2\sin t\cdot \cos t}{\cos t}-\sin t=2\sin t-\sin t=\sin t$;

Ответ: $\sin t$.

б) $\frac{\sin 6t}{{\cos }^{2}3t}=\frac{2\sin 3t\cdot \cos 3t}{{\cos }^{2}3t}=\frac{2\sin 3t}{\cos 3t}=2\mathrm{tg}3t$;

Ответ: $2\mathrm{tg}3t$.

в) ${\cos }^{2}t-\cos 2t={\cos }^{2}t-({\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t)={\sin }^{2}t$;

Ответ: ${\sin }^{2}t$.

г) $\frac{\cos 2t}{\cos t-\sin t}\mathrm{-\; sin}t=\frac{{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t}{\cos t-\sin t}\cdot \sin t=\frac{(\cos t-\sin t)(\cos t+\sin t)}{\cos t-\sin t}\cdot \sin t=$

$=(\cos t+\sin t)\cdot \sin t=\cos t\cdot \sin t+{\sin }^{2}t=\cos t$;

Ответ: $\cos t$.

а)

$$\frac{\sin 2t}{\cos t}-\sin t$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\sin 2t=2\sin t\cdot \cos t$$

Подставим:

$$\frac{2\sin t\cdot \cos t}{\cos t}-\sin t$$

Шаг 2. Сократим $\cos t$:

$$2\sin t-\sin t$$

Шаг 3. Вычитаем:

$$\sin t$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \sin t}}$

б)

$$\frac{\sin 6t}{{\cos }^{2}3t}$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\sin 6t=2\sin 3t\cdot \cos 3t$$

Подставим:

$$\frac{2\sin 3t\cdot \cos 3t}{{\cos }^{2}3t}$$

Шаг 2. Сокращаем $\cos 3t$:

$$\frac{2\sin 3t}{\cos 3t}$$

Шаг 3. Это и есть определение тангенса:

$$2\cdot \mathrm{tg}3t$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2\mathrm{tg}3t}}$

в)

$${\cos }^{2}t-\cos 2t$$

Шаг 1. Формула:

$$\cos 2t={\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t$$

Подставим:

$${\cos }^{2}t-({\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t)$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$${\cos }^{2}t-{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t$$

Шаг 3. Сократим:

$${\sin }^{2}t$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle {\sin }^{2}t}}$

г)

$$\frac{\cos 2t}{\cos t-\sin t}-\sin t$$

Шаг 1. Используем:

$$\cos 2t={\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t$$

Подставим:

$$\frac{{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t}{\cos t-\sin t}-\sin t$$

Шаг 2. Числитель — это разность квадратов:

$${\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t=(\cos t-\sin t)(\cos t+\sin t)$$

Подставим:

$$\frac{(\cos t-\sin t)(\cos t+\sin t)}{\cos t-\sin t}-\sin t$$

Шаг 3. Сокращаем $\cos t-\sin t$:

$$\cos t+\sin t-\sin t$$

Шаг 4. Вычитаем:

$$\cos t$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \cos t}}$