ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\cos^2 3t = \frac{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}$;

б) $\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2}$;

в) $\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \sin 4t}{2}$;

г) $\frac{1 — \cos t}{\sin t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2}$

Доказать тождество:

а) $\cos^2 3t = \frac{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right)}{2} = \frac{1 + \cos 6t}{2} = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3t)}{2} = \cos^2 3t;$$

Тождество доказано.

б) $\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \frac{\left(\sin^2 \frac{t}{2} + \cos^2 \frac{t}{2}\right) — \left(\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}\right)}{\left(\sin^2 \frac{t}{2} + \cos^2 \frac{t}{2}\right) + \left(\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}\right)} = \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \operatorname{tg}^2 \frac{t}{2};$$

Тождество доказано.

в) $\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \sin 4t}{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \cos\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot 2t\right)}{2} = \frac{1 — \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4t\right)}{2} = \frac{1 — \sin 4t}{2};$$

Тождество доказано.

г) $\frac{1 — \cos t}{\sin t} = \operatorname{tg} \frac{t}{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — \cos t}{\sin t} = \frac{\left(\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}\right) — \left(\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}\right)}{\sin t} = \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}} = \operatorname{tg} \frac{t}{2};$$

Тождество доказано.

а) Доказать:

$$\cos^2 3t = \frac{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}$$

Пошаговое решение:

1. Начнём с правой части:

   $$\frac{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}$$

2. Применим основное тригонометрическое тождество:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \cos x$$

3. Подставим:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right) = \cos 6t$$

4. Тогда выражение превращается в:

   $$\frac{1 + \cos 6t}{2}$$

5. Применим формулу понижения степени:

   $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

6. Заметим, что $\cos 6t = \cos(2 \cdot 3t)$, тогда:

   $$\frac{1 + \cos(2 \cdot 3t)}{2} = \cos^2 3t$$

7. Следовательно:

   $$\cos^2 3t = \frac{1 + \sin\left(\frac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}$$

Тождество доказано.

б) Доказать:

$$\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \tan^2 \frac{t}{2}$$

Пошаговое решение:

1. Начнём с левой части:

   $$\frac{1 — \cos t}{1 + \cos t}$$

2. Применим формулы приведения:

   $$\cos t = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}$$

   и

   $$1 = \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}$$

3. Подставим:

   $$\frac{\left(\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}\right) — \left(\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}\right)}{\left(\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}\right) + \left(\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}\right)}$$

4. Упростим числитель:

   $$\left(\cos^2 + \sin^2\right) — \left(\cos^2 — \sin^2\right) = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$$

5. Упростим знаменатель:

   $$\left(\cos^2 + \sin^2\right) + \left(\cos^2 — \sin^2\right) = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$$

6. Подставим обратно:

   $$\frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 \frac{t}{2}} = \tan^2 \frac{t}{2}$$

Тождество доказано.

в) Доказать:

$$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \sin 4t}{2}$$

Пошаговое решение:

1. Начнём с левой части:

   $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right)$$

2. Применим формулу:

   $$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

3. Тогда:

   $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \cos\left(2 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right)\right)}{2}$$

4. Раскроем скобки:

   $$2 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{6\pi}{4} + 4t = \frac{3\pi}{2} + 4t$$

5. Тогда:

   $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4t\right)}{2}$$

6. Используем формулу приведения:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x \quad \text{(так как } \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x \text{)}$$

7. Подставим:

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4t\right) = \sin 4t$$

8. Тогда:

   $$\sin^2\left(\frac{3\pi}{4} + 2t\right) = \frac{1 — \sin 4t}{2}$$

Тождество доказано.

г) Доказать:

$$\frac{1 — \cos t}{\sin t} = \tan \frac{t}{2}$$

Пошаговое решение:

1. Начнём с левой части:

   $$\frac{1 — \cos t}{\sin t}$$

2. В числителе используем:

   $$1 = \cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}, \quad \cos t = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}$$

3. Тогда числитель:

   $$\left(\cos^2 \frac{t}{2} + \sin^2 \frac{t}{2}\right) — \left(\cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}\right) = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$$

4. Знаменатель:

   $$\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$$

5. Тогда:

   $$\frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} = \frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$$

Тождество доказано.