ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\cos 2t}{\sin t\cdot \cos t+{\sin }^{2}t}=\mathrm{ctg}(\pi +t)-1;$$

$$\frac{\cos 2t}{\sin t \cdot \cos t + \sin^2 t} = \operatorname{ctg}(\pi + t) — 1;$$ $$\frac{{\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t}{\sin t\cdot (\cos t+\sin t)}=\mathrm{ctg}t-1;$$

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\sin t \cdot (\cos t + \sin t)} = \operatorname{ctg} t — 1;$$ $$\frac{(\cos t-\sin t)(\cos t+\sin t)}{\sin t\cdot (\cos t+\sin t)}=\mathrm{ctg}t-1;$$

$$\frac{(\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)}{\sin t \cdot (\cos t + \sin t)} = \operatorname{ctg} t — 1;$$ $$\frac{\cos t-\sin t}{\sin t}=\mathrm{ctg}t-1;$$

$$\frac{\cos t — \sin t}{\sin t} = \operatorname{ctg} t — 1;$$ $$\frac{\cos t}{\sin t}-\frac{\sin t}{\sin t}=\mathrm{ctg}t-1;$$

$$\frac{\cos t}{\sin t} — \frac{\sin t}{\sin t} = \operatorname{ctg} t — 1;$$ $$\operatorname{ctg} t — 1 = \operatorname{ctg} t — 1;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\sin 2t-2\sin (\frac{\pi }{2}-t)}{\cos (\frac{\pi }{2}-t)-{\sin }^{2}t}=-2\mathrm{ctg}t;$$

$$\frac{\sin 2t — 2 \sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{2} — t \right) — \sin^2 t} = -2 \operatorname{ctg} t;$$ $$\frac{2\sin t\cdot \cos t-2\cos t}{\sin t-{\sin }^{2}t}=-2\mathrm{ctg}t;$$

$$\frac{2 \sin t \cdot \cos t — 2 \cos t}{\sin t — \sin^2 t} = -2 \operatorname{ctg} t;$$ $$\frac{2\cos t\cdot (\sin t-1)}{\sin t\cdot (\sin t-1)}=-2\mathrm{ctg}t;$$

$$\frac{2 \cos t \cdot (\sin t — 1)}{\sin t \cdot (\sin t — 1)} = -2 \operatorname{ctg} t;$$ $$-2\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=-2\mathrm{ctg}t;$$

$$-2 \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = -2 \operatorname{ctg} t;$$ $$-2 \operatorname{ctg} t = -2 \operatorname{ctg} t;$$

Тождество доказано.

в)

$$(\mathrm{ctg}t-\mathrm{tg}t)\cdot \sin 2t=2\cos 2t;$$

$$(\operatorname{ctg} t — \operatorname{tg} t) \cdot \sin 2t = 2 \cos 2t;$$ $$(\frac{\cos t}{\sin t}-\frac{\sin t}{\cos t})\cdot 2\sin t\cdot \cos t=2\cos 2t;$$

$$\left( \frac{\cos t}{\sin t} — \frac{\sin t}{\cos t} \right) \cdot 2 \sin t \cdot \cos t = 2 \cos 2t;$$ $$2{\cos }^{2}t-2{\sin }^{2}t=2\cos 2t;$$

$$2 \cos^2 t — 2 \sin^2 t = 2 \cos 2t;$$ $$2({\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t)=2\cos 2t;$$

$$2 (\cos^2 t — \sin^2 t) = 2 \cos 2t;$$ $$2 \cos 2t = 2 \cos 2t;$$

Тождество доказано.

г)

$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}\cdot \mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-t)=1;$$

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \cos 2t + \sin 2t} \cdot \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = 1;$$ $$2\cdot \frac{1-\cos 2t}{2}+\sin 2t\cdot \mathrm{ctg}t=1;$$

$$2 \cdot \frac{1 — \cos 2t}{2} + \sin 2t \cdot \operatorname{ctg} t = 1;$$ $$2\cdot \frac{1+\cos 2t}{2}+\sin 2t$$

$$2 \cdot \frac{1 + \cos 2t}{2} + \sin 2t$$ $$2{\sin }^{2}t+2\sin t\cdot \cos t\cdot \mathrm{ctg}t=1;$$

$$2 \sin^2 t + 2 \sin t \cdot \cos t \cdot \operatorname{ctg} t = 1;$$ $$2\sin t\cdot (\sin t+\cos t)\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=1;$$

$$2 \sin t \cdot (\sin t + \cos t) \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а)

Докажем:

$$\frac{\cos 2t}{\sin t \cdot \cos t + \sin^2 t} = \operatorname{ctg}(\pi + t) — 1$$

Шаг 1: Упростим левую часть

Вспомним формулу двойного угла:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Запишем левую часть с подстановкой:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\sin t \cdot \cos t + \sin^2 t}$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель в числителе, если это возможно

Заметим, что числитель — это разность квадратов:

$$\cos^2 t — \sin^2 t = (\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)$$

Запишем:

$$\frac{(\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)}{\sin t \cdot \cos t + \sin^2 t}$$

Шаг 3: Упростим знаменатель

Знаменатель:

$$\sin t \cdot \cos t + \sin^2 t = \sin t(\cos t + \sin t)$$

Подставим:

$$\frac{(\cos t — \sin t)(\cos t + \sin t)}{\sin t (\cos t + \sin t)}$$

Шаг 4: Сократим одинаковые множители

Сократим $(\cos t + \sin t)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{\cos t — \sin t}{\sin t}$$

Шаг 5: Разделим каждое слагаемое:

$$\frac{\cos t}{\sin t} — \frac{\sin t}{\sin t} = \cot t — 1$$

Шаг 6: Выразим правую часть

$$\cot(\pi + t) = \cot t \quad \text{(т.к. cot — периодическая функция с периодом }\pi\text{)}$$

Тогда:

$$\cot(\pi + t) — 1 = \cot t — 1$$

Итог:

$$\cot t — 1 = \cot t — 1 \Rightarrow \text{Тождество доказано.}$$

б)

Докажем:

$$\frac{\sin 2t — 2 \sin \left( \frac{\pi}{2} — t \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{2} — t \right) — \sin^2 t} = -2 \cot t$$

Шаг 1: Используем формулы приведения и двойного угла

• $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• $\sin\left( \frac{\pi}{2} — t \right) = \cos t$
• $\cos\left( \frac{\pi}{2} — t \right) = \sin t$

Подставим:

$$\frac{2 \sin t \cos t — 2 \cos t}{\sin t — \sin^2 t}$$

Шаг 2: В числителе вынесем $2 \cos t$

$$\frac{2 \cos t (\sin t — 1)}{\sin t (1 — \sin t)}$$

Заметим: $1 — \sin t = -(\sin t — 1)$, значит:

$$\frac{2 \cos t (\sin t — 1)}{\sin t (- (\sin t — 1))} = — \frac{2 \cos t}{\sin t}$$

Шаг 3: Получили:

$$-2 \cot t = -2 \cot t \Rightarrow \text{Тождество доказано.}$$

в)

Докажем:

$$(\cot t — \tan t) \cdot \sin 2t = 2 \cos 2t$$

Шаг 1: Подставим выражения:

• $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$
• $\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$
• $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$

Подставим:

$$\left( \frac{\cos t}{\sin t} — \frac{\sin t}{\cos t} \right) \cdot 2 \sin t \cos t$$

Шаг 2: Приведём к общему знаменателю в скобках:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\sin t \cos t}$$

Умножим это на $2 \sin t \cos t$:

$$\frac{\cos^2 t — \sin^2 t}{\sin t \cos t} \cdot 2 \sin t \cos t$$

Сократим:

$$2 (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Используем формулу:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Значит:

$$2 \cos 2t = 2 \cos 2t \Rightarrow \text{Тождество доказано.}$$

г)

Докажем:

$$\frac{1 — \cos 2t + \sin 2t}{1 + \cos 2t + \sin 2t} \cdot \tan \left( \frac{\pi}{2} — t \right) = 1$$

Шаг 1: Используем формулы:

• $\cos 2t = 1 — 2 \sin^2 t$
• $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• $\tan\left( \frac{\pi}{2} — t \right) = \cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$

Шаг 2: Упростим числитель:

$$1 — (1 — 2 \sin^2 t) + 2 \sin t \cos t = 2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3: Упростим знаменатель:

$$1 + (1 — 2 \sin^2 t) + 2 \sin t \cos t = 2 — 2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t = 2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t$$

Теперь вся дробь:

$$\frac{2 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t}{2 \cos^2 t + 2 \sin t \cos t}$$

Вынесем $2 \sin t$ в числителе и $2 \cos t$ в знаменателе:

$$\frac{2 \sin t (\sin t + \cos t)}{2 \cos t (\cos t + \sin t)} = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Теперь:

$$\frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 1$$

Вывод:

$$1 = 1 \Rightarrow \text{Тождество доказано.}$$