ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать тождество:

а) $\cos x \cdot \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \sin x}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{\sin 4x}{4 \sin x} = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{4 \sin x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x}{2 \sin x} = \cos x \cdot \cos 2x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \sin x}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{\sin 8x}{8 \sin x} = \frac{2 \sin 4x \cdot \cos 4x}{8 \sin x} = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{4 \sin x} =$$ $$= \frac{2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{2 \sin x} = \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x;$$

Тождество доказано.

в) $\sin x \cdot \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \cos x}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{\sin 4x}{4 \cos x} = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{4 \cos x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x}{2 \cos x} = \sin x \cdot \cos 2x;$$

Тождество доказано.

г) $\sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \cos x}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\frac{\sin 8x}{8 \cos x} = \frac{2 \sin 4x \cdot \cos 4x}{8 \cos x} = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{4 \cos x} =$$ $$= \frac{2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{2 \cos x} = \sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x;$$

Тождество доказано.

а) Доказать тождество:

$$\cos x \cdot \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \sin x}$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

Начнем с выражения $\frac{\sin 4x}{4 \sin x}$.
Используем тождество:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Подставим:

$$\frac{\sin 4x}{4 \sin x} = \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{4 \sin x}$$

Шаг 2: Упростим $\sin 2x$ через $\sin x$ и $\cos x$

По формуле двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставим:

$$\frac{2 \cdot (2 \sin x \cdot \cos x) \cdot \cos 2x}{4 \sin x}$$

Шаг 3: Упростим числитель и сократим с $\sin x$

$$\frac{4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x}{4 \sin x} = \cos x \cdot \cos 2x$$

Левая часть = правая часть ⇒ тождество доказано.

б) Доказать тождество:

$$\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \sin x}$$

Шаг 1: Начнем с правой части

Используем формулу:

$$\sin 8x = 2 \sin 4x \cdot \cos 4x$$

Тогда:

$$\frac{\sin 8x}{8 \sin x} = \frac{2 \sin 4x \cdot \cos 4x}{8 \sin x}$$

Шаг 2: Разложим $\sin 4x$

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Подставим:

$$\frac{2 \cdot (2 \sin 2x \cdot \cos 2x) \cdot \cos 4x}{8 \sin x} = \frac{4 \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8 \sin x}$$

Шаг 3: Разложим $\sin 2x$

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставим:

$$\frac{4 \cdot (2 \sin x \cdot \cos x) \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8 \sin x} = \frac{8 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8 \sin x}$$

Шаг 4: Сокращаем $\sin x$

$$= \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x$$

Левая часть = правая часть ⇒ тождество доказано.

в) Доказать тождество:

$$\sin x \cdot \cos 2x = \frac{\sin 4x}{4 \cos x}$$

Шаг 1: Начнем с правой части

$$\frac{\sin 4x}{4 \cos x}$$

Используем:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Подставим:

$$\frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{4 \cos x}$$

Шаг 2: Разложим $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$

$$= \frac{2 \cdot (2 \sin x \cdot \cos x) \cdot \cos 2x}{4 \cos x} = \frac{4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x}{4 \cos x}$$

Шаг 3: Сокращаем $\cos x$

$$= \sin x \cdot \cos 2x$$

Тождество доказано.

г) Доказать тождество:

$$\sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{\sin 8x}{8 \cos x}$$

Шаг 1: Начнем с правой части

$$\frac{\sin 8x}{8 \cos x}$$

Используем:

$$\sin 8x = 2 \sin 4x \cdot \cos 4x$$ $$= \frac{2 \sin 4x \cdot \cos 4x}{8 \cos x}$$

Шаг 2: Разложим $\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x$

$$= \frac{2 \cdot (2 \sin 2x \cdot \cos 2x) \cdot \cos 4x}{8 \cos x} = \frac{4 \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8 \cos x}$$

Шаг 3: Разложим $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$

$$= \frac{4 \cdot (2 \sin x \cdot \cos x) \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8 \cos x} = \frac{8 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8 \cos x}$$

Шаг 4: Сокращаем $\cos x$

$$= \sin x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x$$

Тождество доказано.