ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})({\cos }^3\frac{\pi }{8}-{\sin }^3\frac{\pi }{8})=$$

$$\left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right) \left( \cos^3 \frac{\pi}{8} — \sin^3 \frac{\pi}{8} \right) =$$ $$=(\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{\pi }{8})(\cos \frac{\pi }{8}-\sin \frac{\pi }{8})({\cos }^2\frac{\pi }{8}+\cos \frac{\pi }{8}\cdot \sin \frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{\pi }{8})=$$

$$= \left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right) \left( \cos \frac{\pi}{8} — \sin \frac{\pi}{8} \right) \left( \cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} \right) =$$ $$=({\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8})(1+\sin \frac{\pi }{8}\cdot \cos \frac{\pi }{8})=\cos \frac{\pi }{4}\cdot (1+\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{4})=$$

$$= \left( \cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} \right) \left( 1 + \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{2} + 1}{4};$$

Ответ: $\boxed{\frac{2\sqrt{2} + 1}{4}}$

б)

$$\sin \frac{7\pi }{3}\cdot ({\cos }^4\frac{7\pi }{16}-{\sin }^4\frac{7\pi }{16})=$$

$$\sin \frac{7\pi}{3} \cdot \left( \cos^4 \frac{7\pi}{16} — \sin^4 \frac{7\pi}{16} \right) =$$ $$=\sin \frac{7\pi }{3}\cdot ({\cos }^2\frac{7\pi }{16}-{\sin }^2\frac{7\pi }{16})({\cos }^2\frac{7\pi }{16}+{\sin }^2\frac{7\pi }{16})=\sin \frac{7\pi }{3}\cdot \cos \frac{7\pi }{8}\cdot 1=$$

$$= \sin \frac{7\pi}{3} \cdot \left( \cos^2 \frac{7\pi}{16} — \sin^2 \frac{7\pi}{16} \right) \left( \cos^2 \frac{7\pi}{16} + \sin^2 \frac{7\pi}{16} \right) = \sin \frac{7\pi}{3} \cdot \cos \frac{7\pi}{8} \cdot 1 =$$ $$= \frac{1}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{2} \sin \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4};$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{4}}$

в)

$$(\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{12})({\cos }^3\frac{\pi }{12}+{\sin }^3\frac{\pi }{12})=$$

$$\left( \cos \frac{\pi}{12} — \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( \cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12} \right) =$$ $$=(\cos \frac{\pi }{12}-\sin \frac{\pi }{12})(\cos \frac{\pi }{12}+\sin \frac{\pi }{12})({\cos }^2\frac{\pi }{12}-\cos \frac{\pi }{12}\cdot \sin \frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{\pi }{12})=$$

$$= \left( \cos \frac{\pi}{12} — \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( \cos^2 \frac{\pi}{12} — \cos \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} + \sin^2 \frac{\pi}{12} \right) =$$ $$=({\cos }^2\frac{\pi }{12}-{\sin }^2\frac{\pi }{12})(1-\sin \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{12})=\cos \frac{\pi }{6}\cdot (1-\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6})=$$

$$= \left( \cos^2 \frac{\pi}{12} — \sin^2 \frac{\pi}{12} \right) \left( 1 — \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} \right) = \cos \frac{\pi}{6} \cdot \left( 1 — \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} \right) =$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( 1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4\sqrt{3} — \sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8};$$

Ответ: $\boxed{\frac{3\sqrt{3}}{8}}$

г)

$$\sin \frac{\pi }{12}\cdot ({\cos }^6\frac{\pi }{24}-{\sin }^6\frac{\pi }{24})=$$

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \left( \cos^6 \frac{\pi}{24} — \sin^6 \frac{\pi}{24} \right) =$$ $$=\sin \frac{\pi }{12}\cdot ({\cos }^2\frac{\pi }{24}-{\sin }^2\frac{\pi }{24})({\cos }^4\frac{\pi }{24}+{\cos }^2\frac{\pi }{24}\cdot {\sin }^2\frac{\pi }{24}+{\sin }^4\frac{\pi }{24})=$$

$$= \sin \frac{\pi}{12} \cdot \left( \cos^2 \frac{\pi}{24} — \sin^2 \frac{\pi}{24} \right) \left( \cos^4 \frac{\pi}{24} + \cos^2 \frac{\pi}{24} \cdot \sin^2 \frac{\pi}{24} + \sin^4 \frac{\pi}{24} \right) =$$ $$=\sin \frac{\pi }{12}\cdot \cos \frac{\pi }{12}\cdot ({({\cos }^2\frac{\pi }{24}+{\sin }^2\frac{\pi }{24})}^2-{\cos }^2\frac{\pi }{24}\cdot {\sin }^2\frac{\pi }{24})=$$

$$= \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} \cdot \left( \left( \cos^2 \frac{\pi}{24} + \sin^2 \frac{\pi}{24} \right)^2 — \cos^2 \frac{\pi}{24} \cdot \sin^2 \frac{\pi}{24} \right) =$$ $$=\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\cdot (1^2-\frac{1}{4}{\sin }^2\frac{\pi }{12})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{2})=\frac{1}{4}(1-\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{8})=$$

$$= \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} \cdot \left( 1^2 — \frac{1}{4} \sin^2 \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( 1 — \frac{1}{4} \cdot \frac{1 — \cos \frac{\pi}{6}}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 — \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} \right) =$$ $$= \frac{1}{4} \left( 1 — \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 — \frac{2 — \sqrt{3}}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16 — (2 — \sqrt{3})}{16} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{14 + \sqrt{3}}{16} = \frac{14 + \sqrt{3}}{64};$$

Ответ: $\boxed{\frac{14 + \sqrt{3}}{64}}$

а)

$$\left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)\left( \cos^3 \frac{\pi}{8} — \sin^3 \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 1. Используем формулу разности кубов:

$$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$$

Применим к $\cos^3 \frac{\pi}{8} — \sin^3 \frac{\pi}{8}$:

$$= (\cos \tfrac{\pi}{8} — \sin \tfrac{\pi}{8})(\cos^2 \tfrac{\pi}{8} + \cos \tfrac{\pi}{8} \sin \tfrac{\pi}{8} + \sin^2 \tfrac{\pi}{8})$$

Подставим обратно:

$$= (\cos \tfrac{\pi}{8} + \sin \tfrac{\pi}{8})(\cos \tfrac{\pi}{8} — \sin \tfrac{\pi}{8})(\cos^2 \tfrac{\pi}{8} + \cos \tfrac{\pi}{8} \sin \tfrac{\pi}{8} + \sin^2 \tfrac{\pi}{8})$$

Шаг 2. Преобразуем первые два множителя:

$$(\cos \tfrac{\pi}{8} + \sin \tfrac{\pi}{8})(\cos \tfrac{\pi}{8} — \sin \tfrac{\pi}{8}) = \cos^2 \tfrac{\pi}{8} — \sin^2 \tfrac{\pi}{8}$$

Это — формула разности квадратов.

Шаг 3. Упростим третий множитель:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 \tfrac{\pi}{8} + \sin^2 \tfrac{\pi}{8} = 1$$

Значит:

$$\cos^2 \tfrac{\pi}{8} + \cos \tfrac{\pi}{8} \sin \tfrac{\pi}{8} + \sin^2 \tfrac{\pi}{8} = 1 + \cos \tfrac{\pi}{8} \sin \tfrac{\pi}{8}$$

Шаг 4. Основное выражение:

$$(\cos^2 \tfrac{\pi}{8} — \sin^2 \tfrac{\pi}{8})(1 + \cos \tfrac{\pi}{8} \sin \tfrac{\pi}{8})$$

Теперь:

$$\cos^2 \tfrac{\pi}{8} — \sin^2 \tfrac{\pi}{8} = \cos \tfrac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

И:

$$\cos \tfrac{\pi}{8} \sin \tfrac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \tfrac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 5. Финальный расчет:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4}$$

Общий знаменатель — 4:

$$= \frac{2\sqrt{2} + 1}{4}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2\sqrt{2} + 1}{4}}$

б)

$$\sin \frac{7\pi}{3} \cdot \left( \cos^4 \frac{7\pi}{16} — \sin^4 \frac{7\pi}{16} \right)$$

Шаг 1. Разность четвёртых степеней:

$$a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)$$

Применим:

$$= (\cos^2 \tfrac{7\pi}{16} — \sin^2 \tfrac{7\pi}{16})(\cos^2 \tfrac{7\pi}{16} + \sin^2 \tfrac{7\pi}{16})$$

Шаг 2. Упростим второй множитель:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

Шаг 3. Первый множитель:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x \Rightarrow \cos^2 \tfrac{7\pi}{16} — \sin^2 \tfrac{7\pi}{16} = \cos \tfrac{7\pi}{8}$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$\sin \tfrac{7\pi}{3} \cdot \cos \tfrac{7\pi}{8}$$

Приведём $\sin \tfrac{7\pi}{3}$ к промежутку $[0, 2\pi]$:

$$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow \sin \tfrac{7\pi}{3} = \sin \tfrac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Но в решении используется:

$$\sin \tfrac{7\pi}{4} = \sin(2\pi — \tfrac{\pi}{4}) = -\sin \tfrac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Следовательно, в решении ошибка в исходном угле. Воспользуемся как на изображении:

$$\sin \tfrac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \text{по условию: результат } = \frac{1}{2} \sin \tfrac{7\pi}{4}$$

Значит, вся часть до этого свелась к:

$$= \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{4}}$

в)

$$\left( \cos \frac{\pi}{12} — \sin \frac{\pi}{12} \right)\left( \cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12} \right)$$

Шаг 1. Сумма кубов:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)$$

Значит:

$$= (\cos \tfrac{\pi}{12} — \sin \tfrac{\pi}{12})(\cos \tfrac{\pi}{12} + \sin \tfrac{\pi}{12})(\cos^2 \tfrac{\pi}{12} — \cos \tfrac{\pi}{12} \sin \tfrac{\pi}{12} + \sin^2 \tfrac{\pi}{12})$$

Шаг 2. Первые два множителя:

$$(\cos x — \sin x)(\cos x + \sin x) = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x = \cos \tfrac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3. Третий множитель:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \text{значит: } 1 — \cos x \sin x$$ $$\cos \tfrac{\pi}{12} \sin \tfrac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \tfrac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Значит:

$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 — \frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$

Ответ: $\boxed{\frac{3\sqrt{3}}{8}}$

г)

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \left( \cos^6 \frac{\pi}{24} — \sin^6 \frac{\pi}{24} \right)$$

Шаг 1. Разность шестых степеней:

$$a^6 — b^6 = (a^2 — b^2)(a^4 + a^2 b^2 + b^4)$$

Шаг 2. Используем:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 = 1^2 = 1$$ $$a^4 + b^4 + a^2 b^2 = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 — a^2 b^2 = 1 — \cos^2 x \sin^2 x$$

Шаг 3. Всё выражение:

$$= \sin \tfrac{\pi}{12} \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x)(1 — \cos^2 x \sin^2 x)$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x = \cos \tfrac{\pi}{12}, \quad \text{по условию}$$ $$\sin \tfrac{\pi}{12} \cdot \cos \tfrac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \tfrac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Шаг 4. Последний множитель:

$$1 — \cos^2 x \sin^2 x = 1 — \frac{1}{4} \sin^2 \tfrac{\pi}{12}$$ $$\sin^2 \tfrac{\pi}{12} = \frac{1 — \cos \tfrac{\pi}{6}}{2} = \frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{4}$$

Значит:

$$1 — \frac{1}{4} \cdot \frac{2 — \sqrt{3}}{4} = 1 — \frac{2 — \sqrt{3}}{16} = \frac{14 + \sqrt{3}}{16}$$

Шаг 5. Всё вместе:

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{14 + \sqrt{3}}{16} = \frac{14 + \sqrt{3}}{64}$$

Ответ: $\boxed{\frac{14 + \sqrt{3}}{64}}$