ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\left(\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}\right) + \left(\sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8}\right) + \left(\sin^6 \frac{3\pi}{8} + \cos^6 \frac{3\pi}{8}\right) =$

б) $({\cos }^2\frac{5\pi }{8}-{\sin }^2\frac{5\pi }{8})+({\cos }^4\frac{5\pi }{8}-{\sin }^4\frac{5\pi }{8})+({\cos }^6\frac{5\pi }{8}-{\sin }^6\frac{5\pi }{8})$

а) $\left(\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}\right) + \left(\sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8}\right) + \left(\sin^6 \frac{3\pi}{8} + \cos^6 \frac{3\pi}{8}\right) =$

$= 1 + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} + \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{19}{8} = 2 \frac{3}{8};$

Значение выражения во вторых скобках:

$$\sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} = \left(\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}\right)^2 — 2 \sin^2 \frac{3\pi}{8} \cdot \cos^2 \frac{3\pi}{8} =$$ $$= 1^2 — 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 \frac{3\pi}{4} = 1 — \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4};$$

Значение выражения в третьих скобках:

$$\sin^6 \frac{3\pi}{8} + \cos^6 \frac{3\pi}{8} =$$ $$= \left(\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}\right) \left(\sin^4 \frac{3\pi}{8} — \sin^2 \frac{3\pi}{8} \cdot \cos^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8}\right) =$$ $$= 1 \cdot \left(\frac{3}{4} — \frac{1}{4} \sin^2 \frac{3\pi}{4}\right) = \frac{3}{4} — \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} — \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{8} — \frac{1}{8} = \frac{5}{8};$$

Ответ: $2 \frac{3}{8}$.

б) $\left(\cos^2 \frac{5\pi}{8} — \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right) + \left(\cos^4 \frac{5\pi}{8} — \sin^4 \frac{5\pi}{8}\right) + \left(\cos^6 \frac{5\pi}{8} — \sin^6 \frac{5\pi}{8}\right) =$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{7\sqrt{2}}{16} = -\frac{3\sqrt{2}}{16} — \frac{8\sqrt{2}}{16} — \frac{7\sqrt{2}}{16} = -\frac{23\sqrt{2}}{16}$

Значение выражения в первых скобках:

$$\cos^2 \frac{5\pi}{8} — \sin^2 \frac{5\pi}{8} = \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Значение выражения во вторых скобках:

$$\cos^4 \frac{5\pi}{8} — \sin^4 \frac{5\pi}{8} = \left(\cos^2 \frac{5\pi}{8} — \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right) \left(\cos^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right) =$$ $$= -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

Значение выражения в третьих скобках:

$$\cos^6 \frac{5\pi}{8} — \sin^6 \frac{5\pi}{8} =$$ $$= \left(\cos^2 \frac{5\pi}{8} — \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right) \left(\cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^2 \frac{5\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^4 \frac{5\pi}{8}\right) =$$ $$= -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\left(\cos^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right)^2 — \cos^2 \frac{5\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right) =$$ $$= -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(1^2 — \frac{1}{4} \sin^2 \frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(1 — \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right) =$$ $$= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{2}{4} = -\frac{8\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{16} = -\frac{7\sqrt{2}}{16};$$

Ответ: $-\frac{23\sqrt{2}}{16}$.

а) Вычислить:

$$\left(\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8}\right) + \left(\sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8}\right) + \left(\sin^6 \frac{3\pi}{8} + \cos^6 \frac{3\pi}{8}\right)$$

Шаг 1. Первая скобка

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad \text{(основное тригонометрическое тождество)}$$

Подставим $x = \frac{3\pi}{8}$:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} = 1$$

Шаг 2. Вторая скобка

$$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2\sin^2 x \cos^2 x$$

Снова используем $x = \frac{3\pi}{8}$, тогда:

$$\sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} = 1^2 — 2\sin^2 \frac{3\pi}{8} \cos^2 \frac{3\pi}{8}$$

Найдём произведение синуса и косинуса:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x$$

Поскольку $x = \frac{3\pi}{8} \Rightarrow 2x = \frac{3\pi}{4}$, и:

$$\sin \frac{3\pi}{4} = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{3\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

Значит:

$$\sin^2 \frac{3\pi}{8} \cos^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Тогда:

$$\sin^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} = 1 — 2 \cdot \frac{1}{8} = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Шаг 3. Третья скобка

$$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)\left(\sin^4 x — \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x\right)$$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, то:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \sin^4 x + \cos^4 x — \sin^2 x \cos^2 x$$

Ранее мы уже нашли:

• $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3}{4}$
• $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{8}$

Следовательно:

$$\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{3}{4} — \frac{1}{8} = \frac{6}{8} — \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$$

Сумма трёх слагаемых:

$$1 + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} = \frac{8}{8} + \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{19}{8} = 2 \frac{3}{8}$$

Ответ (а): $\boxed{2 \frac{3}{8}}$

б) Вычислить:

$$\left(\cos^2 \frac{5\pi}{8} — \sin^2 \frac{5\pi}{8}\right) + \left(\cos^4 \frac{5\pi}{8} — \sin^4 \frac{5\pi}{8}\right) + \left(\cos^6 \frac{5\pi}{8} — \sin^6 \frac{5\pi}{8}\right)$$

Шаг 1. Первая скобка

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

При $x = \frac{5\pi}{8} \Rightarrow 2x = \frac{10\pi}{8} = \frac{5\pi}{4}$

$$\cos \frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итак:

$$\cos^2 \frac{5\pi}{8} — \sin^2 \frac{5\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2. Вторая скобка

$$\cos^4 x — \sin^4 x = (\cos^2 x — \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$$

Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, то:

$$\cos^4 x — \sin^4 x = \cos^2 x — \sin^2 x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3. Третья скобка

Используем формулу:

$$\cos^6 x — \sin^6 x = (\cos^2 x — \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x)$$

Сначала найдём скобку:

$$\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 — \cos^2 x \sin^2 x$$ $$= 1^2 — \cos^2 x \sin^2 x = 1 — \frac{1}{4} \sin^2 2x$$

Ранее $x = \frac{5\pi}{8} \Rightarrow 2x = \frac{5\pi}{4} \Rightarrow \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin^2 \frac{5\pi}{4} = \frac{1}{2}$

Значит:

$$\cos^2 x \sin^2 x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \Rightarrow \text{Сумма в скобке: } 1 — \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

Теперь:

$$\cos^6 x — \sin^6 x = (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \frac{7}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{7}{8} = -\frac{7\sqrt{2}}{16}$$

Сложим всё:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{7\sqrt{2}}{16} \Rightarrow \text{Первые два слагаемых: } -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} = -\frac{16\sqrt{2}}{16}$$

Итог:

$$-\frac{16\sqrt{2}}{16} — \frac{7\sqrt{2}}{16} = -\frac{23\sqrt{2}}{16}$$

Ответ (б): $\boxed{-\frac{23\sqrt{2}}{16}}$