ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите равенство:

a) 8cos10° · cos20° · cos40° = ctg10°;

б) sin70° + 8cos20° · cos40° · cos80° = 2cos²10°.

Доказать равенство:

а) $8 \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$;

$$\frac{4}{\sin {10}^{\circ }}\cdot (2\sin {10}^{\circ }\cdot \cos {10}^{\circ })\cdot \cos {20}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }=\mathrm{ctg}{10}^{\circ };$$

$$\frac{4}{\sin 10^\circ} \cdot (2 \sin 10^\circ \cdot \cos 10^\circ) \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$ $$\frac{2}{\sin {10}^{\circ }}\cdot (2\sin {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ })\cdot \cos {40}^{\circ }=\mathrm{ctg}{10}^{\circ };$$

$$\frac{2}{\sin 10^\circ} \cdot (2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$ $$\frac{2\sin {40}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ }}{\sin {10}^{\circ }}=\mathrm{ctg}{10}^{\circ };$$

$$\frac{2 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$ $$\frac{\sin {80}^{\circ }}{\sin {10}^{\circ }}=\mathrm{ctg}{10}^{\circ };$$

$$\frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$ $$\frac{\sin ({90}^{\circ }-{10}^{\circ })}{\sin {10}^{\circ }}=\mathrm{ctg}{10}^{\circ };$$

$$\frac{\sin(90^\circ — 10^\circ)}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$ $$\frac{\cos {10}^{\circ }}{\sin {10}^{\circ }}=\mathrm{ctg}{10}^{\circ };$$

$$\frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$ $$\operatorname{ctg} 10^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ;$$

Равенство доказано.

б) $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$;

$$\sin {70}^{\circ }+\frac{4}{\sin {20}^{\circ }}\cdot (2\sin {20}^{\circ }\cdot \cos {20}^{\circ })\cdot \cos {40}^{\circ }\cdot \cos {80}^{\circ }=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\sin 70^\circ + \frac{4}{\sin 20^\circ} \cdot (2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$\sin {70}^{\circ }+\frac{2}{\sin {20}^{\circ }}\cdot (2\sin {40}^{\circ }\cdot \cos {40}^{\circ })\cdot \cos {80}^{\circ }=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\sin 70^\circ + \frac{2}{\sin 20^\circ} \cdot (2 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ) \cdot \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$\sin {70}^{\circ }+\frac{2\sin {80}^{\circ }\cdot \cos {80}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\sin 70^\circ + \frac{2 \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$\sin {70}^{\circ }+\frac{\sin {160}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\sin 70^\circ + \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$\sin ({90}^{\circ }-{20}^{\circ })+\frac{\sin ({180}^{\circ }-{20}^{\circ })}{\sin {20}^{\circ }}=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\sin(90^\circ — 20^\circ) + \frac{\sin(180^\circ — 20^\circ)}{\sin 20^\circ} = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$\cos {20}^{\circ }+\frac{\sin {20}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\cos 20^\circ + \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$\cos {20}^{\circ }+1=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$\cos 20^\circ + 1 = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$({\cos }^2{10}^{\circ }-{\sin }^2{10}^{\circ })+({\cos }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{10}^{\circ })=2{\cos }^2{10}^{\circ };$$

$$(\cos^2 10^\circ — \sin^2 10^\circ) + (\cos^2 10^\circ + \sin^2 10^\circ) = 2 \cos^2 10^\circ;$$ $$2 \cos^2 10^\circ = 2 \cos^2 10^\circ;$$

Равенство доказано.

а) Доказать:

$$8 \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$$

Шаг 1: Используем тригонометрическую тождество для произведения косинусов

Существует известное тригонометрическое тождество:

$$8 \cos x \cdot \cos(2x) \cdot \cos(4x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x$$

Для $x = 10^\circ$, получаем:

$$8 \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$$

Но это — итоговое тождество, которое нужно доказать, а не использовать напрямую. Поэтому переходим к поэтапному выводу.

Шаг 2: Представим множитель 8 как $4 \cdot 2$

$$8 \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = 4 \cdot 2 \cdot \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ$$

Шаг 3: Используем тождество двойного угла:

$$2 \sin a \cos a = \sin 2a$$

Рассмотрим:

$$2 \sin 10^\circ \cdot \cos 10^\circ = \sin 20^\circ$$

Следовательно:

$$4 \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \left(2 \sin 10^\circ \cdot \cos 10^\circ\right) = 4 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \sin 20^\circ$$

Запишем:

$$\frac{4}{\sin 10^\circ} \cdot \left(2 \sin 10^\circ \cdot \cos 10^\circ\right) \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ$$

Сократим $\sin 10^\circ$:

$$= \frac{2}{\sin 10^\circ} \cdot (2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ$$

Шаг 4: Применяем ещё раз тождество двойного угла:

$$2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ = \sin 40^\circ$$

Тогда:

$$\frac{2}{\sin 10^\circ} \cdot \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ$$

Шаг 5: Снова применим тождество:

$$2 \sin a \cos a = \sin 2a \quad \Rightarrow \quad \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$$

Подставим:

$$\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ}$$

Шаг 6: Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ — 10^\circ) = \cos 10^\circ$$

Тогда:

$$\frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \operatorname{ctg} 10^\circ$$

Итог:

$$8 \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \operatorname{ctg} 10^\circ$$

Равенство доказано.

б) Доказать:

$$\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$$

Шаг 1: Начнем с преобразования сложного произведения косинусов

Как и раньше, рассмотрим:

$$8 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = 4 \cdot 2 \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$$

Шаг 2: Используем тождество двойного угла:

$$2 \sin a \cos a = \sin 2a$$ $$2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ = \sin 40^\circ \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot \left(2 \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ\right) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$$ $$= \frac{4}{\sin 20^\circ} \cdot \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$$

Шаг 3: Применим тождество к $\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ$:

$$2 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ = \sin 80^\circ \quad \Rightarrow \quad \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin 80^\circ$$

Подставим:

$$\frac{4}{\sin 20^\circ} \cdot \frac{1}{2} \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{2}{\sin 20^\circ} \cdot \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ$$

Шаг 4: Снова применим тождество:

$$2 \sin a \cos a = \sin 2a \quad \Rightarrow \quad 2 \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ = \sin 160^\circ$$

Следовательно:

$$\frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ}$$

Шаг 5: Возвращаемся к исходному выражению

$$\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \sin 70^\circ + \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ}$$

Преобразуем каждое слагаемое:

• $\sin 70^\circ = \cos 20^\circ$
• $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ — 20^\circ) = \sin 20^\circ$

Значит:

$$\cos 20^\circ + \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \cos 20^\circ + 1$$

Шаг 6: Преобразуем правую часть — $2 \cos^2 10^\circ$

Используем тождество:

$$\cos 2a = 2 \cos^2 a — 1 \quad \Rightarrow \quad 2 \cos^2 a = \cos 2a + 1$$

Для $a = 10^\circ$:

$$2 \cos^2 10^\circ = \cos 20^\circ + 1$$

Итог:

$$\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ$$

Равенство доказано.