ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Вычислите:

а) $\sin 2t$;

б) $\cos 2t$;

в) $\tg 2t$;

г) $\ctg 2t$.

Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = -\frac{5}{12};$$

а) $\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{120}{169}$;

Ответ: $-\frac{120}{169}$.

б) $\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 — \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$;

Ответ: $\frac{119}{169}$.

в) $\tg 2t = \frac{2 \tg t}{1 — \tg^2 t} = \frac{2 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)}{1 — \left(-\frac{5}{12}\right)^2} = -\frac{5}{6} : \left(\frac{144}{144} — \frac{25}{144}\right) = -\frac{5}{6} : \frac{119}{144}$;

$$\tg 2t = -\frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = -\frac{5 \cdot 24}{119} = -\frac{120}{119};$$

Ответ: $-\frac{120}{119}$.

г) $\ctg 2t = \frac{1}{\tg 2t} = \frac{1 — \tg^2 t}{2 \tg t} = \frac{1 — \left(-\frac{5}{12}\right)^2}{2 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)} = \frac{\frac{144}{144} — \frac{25}{144}}{-\frac{5}{6}}$;

$$\ctg 2t = \frac{\frac{119}{144}}{-\frac{5}{6}} = \frac{119}{144} \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) = -\frac{119 \cdot 6}{24 \cdot 5} = -\frac{119}{120};$$

Ответ: $-\frac{119}{120}$.

Дано:

• $\sin t = \dfrac{5}{13}$
• Угол $t \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ — то есть вторая четверть.

Предварительный анализ

Во второй четверти:

• $\sin t > 0$
• $\cos t < 0$
• $\tg t < 0$
• $\ctg t < 0$

Найдём остальные тригонометрические значения

1. Найдём $\cos t$

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 t = 1 — \sin^2 t$$

Подставим $\sin t = \dfrac{5}{13}$:

$$\cos^2 t = 1 — \left( \dfrac{5}{13} \right)^2 = 1 — \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$$

Извлекаем корень:

$$\cos t = \pm \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm \dfrac{12}{13}$$

Так как $t$ — во второй четверти, $\cos t < 0$, значит:

$$\cos t = -\dfrac{12}{13}$$

2. Найдём $\tg t$

Определение тангенса:

$$\tg t = \dfrac{\sin t}{\cos t} = \dfrac{\dfrac{5}{13}}{-\dfrac{12}{13}} = \dfrac{5}{13} \cdot \left( -\dfrac{13}{12} \right) = -\dfrac{5}{12}$$

Теперь найдём значения двойных углов:

а) $\sin 2t$

Формула двойного угла:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Подставим:

$$\sin 2t = 2 \cdot \dfrac{5}{13} \cdot \left( -\dfrac{12}{13} \right) = -\dfrac{120}{169}$$

Ответ: $-\dfrac{120}{169}$

б) $\cos 2t$

Формула:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Вычислим каждую часть:

• $\cos^2 t = \left(-\dfrac{12}{13}\right)^2 = \dfrac{144}{169}$
• $\sin^2 t = \left( \dfrac{5}{13} \right)^2 = \dfrac{25}{169}$

Тогда:

$$\cos 2t = \dfrac{144}{169} — \dfrac{25}{169} = \dfrac{119}{169}$$

Ответ: $\dfrac{119}{169}$

в) $\tg 2t$

Формула двойного угла для тангенса:

$$\tg 2t = \dfrac{2 \tg t}{1 — \tg^2 t}$$

Подставим $\tg t = -\dfrac{5}{12}$

Шаг 1: Найдём числитель

$$2 \cdot \left(-\dfrac{5}{12}\right) = -\dfrac{10}{12} = -\dfrac{5}{6}$$

Шаг 2: Найдём знаменатель

$$1 — \left(-\dfrac{5}{12}\right)^2 = 1 — \dfrac{25}{144} = \dfrac{144 — 25}{144} = \dfrac{119}{144}$$

Шаг 3: Подставим в формулу

$$\tg 2t = \dfrac{-\dfrac{5}{6}}{\dfrac{119}{144}} = -\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{144}{119}$$

Шаг 4: Упростим

$$\tg 2t = -\dfrac{5 \cdot 144}{6 \cdot 119} = -\dfrac{120}{119}$$

Ответ: $-\dfrac{120}{119}$

г) $\ctg 2t$

Формула через тангенс:

$$\ctg 2t = \dfrac{1}{\tg 2t}$$

У нас уже есть:

$$\tg 2t = -\dfrac{120}{119} \quad \Rightarrow \quad \ctg 2t = \dfrac{1}{-\dfrac{120}{119}} = -\dfrac{119}{120}$$

Ответ: $-\dfrac{119}{120}$

Итоговые ответы:

а) $\sin 2t = \boxed{-\dfrac{120}{169}}$

б) $\cos 2t = \boxed{\dfrac{119}{169}}$

в) $\tg 2t = \boxed{-\dfrac{120}{119}}$

г) $\ctg 2t = \boxed{-\dfrac{119}{120}}$