ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Известно, что $\cos t=\frac{3}{4}$, $0<t<\frac{\pi }{2}$. Вычислите:

$$\cos \frac{t}{2},\sin \frac{t}{2},\mathrm{tg}\frac{t}{2},\mathrm{ctg}\frac{t}{2}\mathrm{.}$$

б) Известно, что $\mathrm{ctg}t=\frac{3}{4}$, $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$. Вычислите:

$$\cos \frac{t}{2},\sin \frac{t}{2},\mathrm{tg}\frac{t}{2},\mathrm{ctg}\frac{t}{2}\mathrm{.}$$

а) Известно, что $\cos t=\frac{3}{4}$ и $0<t<\frac{\pi }{2}$;

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой четверти, значит:
$0<\frac{t}{2}<\frac{\pi }{4};$

$$\cos \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{4+3}{2\cdot 4}}=\sqrt{\frac{7}{8}}=\sqrt{\frac{14}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4};$$

$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{4-3}{2\cdot 4}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4};$$

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{4}:\frac{\sqrt{14}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{2}{14}}=\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7};$$

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=1:\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{7}}{7};\sqrt{7}\mathrm{.}$

б) Известно, что $\mathrm{ctg}t=\frac{3}{4}$ и $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти, значит:
$\sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{9}{16}}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{16}{16}+\frac{9}{16}}}=$

$=-\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5};$

$\cos t=\mathrm{ctg}t\cdot \sin t=\frac{3}{4}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{3}{5};$

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит второй четверти, значит:
$\frac{\pi }{2}<\frac{t}{2}<\frac{3\pi }{4};$

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1+(-\frac{3}{5})}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{5-3}{2\cdot 5}}=$$

$$=-\sqrt{\frac{2}{10}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5};$$

$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-(-\frac{3}{5})}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{5+3}{2\cdot 5}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5};$$

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}:(-\frac{\sqrt{5}}{5})=\frac{2\sqrt{5}}{5}\cdot (-\frac{5}{\sqrt{5}})=-2;$$

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{5};\frac{2\sqrt{5}}{5};-2;-\frac{1}{2}\mathrm{.}$

а) Дано:

$$\cos t=\frac{3}{4},0<t<\frac{\pi }{2}$$

Значит, угол $t$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Тогда и угол $\frac{t}{2}$ также находится в первой четверти:

$$0<\frac{t}{2}<\frac{\pi }{4}$$

Найдём:

1. $\cos \frac{t}{2}$
2. $\sin \frac{t}{2}$
3. $\mathrm{tg}\frac{t}{2}$
4. $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}$

1) Найдём $\cos \frac{t}{2}$:

Используем формулу понижения аргумента:

$$\cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}\text{(знак «+», т.к. угол в 1 четверти)}$$

Подставим:

$$\cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{7}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{4\cdot 2}}=\sqrt{\frac{7}{8}}$$

Представим подкоренное выражение с одинаковыми знаменателями:

$$\sqrt{\frac{7}{8}}=\sqrt{\frac{14}{16}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$$

Ответ:

$$\cos \frac{t}{2}=\frac{\sqrt{14}}{4}$$

2) Найдём $\sin \frac{t}{2}$:

Формула:

$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\text{(знак «+»)}$$

Подставим:

$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{4}-\frac{3}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4\cdot 2}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Ответ:

$$\sin \frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

3) Найдём $\mathrm{tg}\frac{t}{2}$:

По определению:

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{2}{14}}=\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

Ответ:

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

4) Найдём $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}$:

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{7}}=\frac{7}{\sqrt{7}}=\sqrt{7}$$

Ответ:

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\sqrt{7}$$

Окончательные ответы (а):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{7}}{7};\sqrt{7}}}$$

б) Дано:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{3}{4},\pi <t<\frac{3\pi }{2}$$

Значит, угол $t$ находится в третьей четверти, где:

• $\sin t<0$
• $\cos t<0$
• $\mathrm{tg}t>0$, $\mathrm{ctg}t>0$

1) Найдём $\sin t$:

Используем формулу:

$$\sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+{\mathrm{ctg}}^{2}t}}\text{(минус, т.к. в третьей четверти)}$$

Вычислим:

$${\mathrm{ctg}}^{2}t={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$$$$\sin t=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{9}{16}}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$$

Ответ:

$$\sin t=-\frac{4}{5}$$

2) Найдём $\cos t$:

По определению:

$$\mathrm{ctg}t=\frac{\cos t}{\sin t}\Rightarrow \cos t=\mathrm{ctg}t\cdot \sin t=\frac{3}{4}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{12}{20}=-\frac{3}{5}$$

Ответ:

$$\cos t=-\frac{3}{5}$$

3) Определим четверть для $\frac{t}{2}$:

Если $\pi <t<\frac{3\pi }{2}$, то делим на 2:

$$\frac{\pi }{2}<\frac{t}{2}<\frac{3\pi }{4}$$

Это вторая четверть, где:

• $\sin >0$
• $\cos <0$
• $\mathrm{tg}<0$
• $\mathrm{ctg}<0$

4) Найдём $\cos \frac{t}{2}$:

Формула:

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}\text{(минус, т.к. во 2 четверти)}$$

Подставим:

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+(-\frac{3}{5})}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}}=-\sqrt{\frac{2}{10}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Ответ:

$$\cos \frac{t}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

5) Найдём $\sin \frac{t}{2}$:

Формула:

$$\sin \frac{t}{2}=+\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\text{(плюс, т.к. во 2 четверти)}$$

Подставим:

$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-(-\frac{3}{5})}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ:

$$\sin \frac{t}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

6) Найдём $\mathrm{tg}\frac{t}{2}$:

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}}=-2$$

Ответ:

$$\mathrm{tg}\frac{t}{2}=-2$$

7) Найдём $\mathrm{ctg}\frac{t}{2}$:

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{t}{2}}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\mathrm{ctg}\frac{t}{2}=-\frac{1}{2}$$

Окончательные ответы (б):

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{5};\frac{2\sqrt{5}}{5};-2;-\frac{1}{2}}}$$