ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $\cos 4x=-\frac{527}{625}$, $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$, вычислите $\sin x$;

б) зная, что $\cos 4x=\frac{17}{81}$, $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{4}$, вычислите $\mathrm{tg}x$.

а) Известно, что $\cos 4x=-\frac{527}{625}$ и $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$;

Точка $2x$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\frac{\pi }{2}<2x<\pi ;$$

$$\cos 2x=-\sqrt{\frac{1+\cos 4x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{527}{625}}{2}}=-\sqrt{\frac{625-527}{2\cdot 625}}=$$

$$=-\sqrt{\frac{98}{1250}}=-\sqrt{\frac{49}{625}}=-\frac{7}{25}\mathrm{.}$$

Точка $x$ принадлежит первой четверти, значит:

$$\sin x=+\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\frac{25+7}{2\cdot 25}}=\sqrt{\frac{32}{50}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) Известно, что $\cos 4x=\frac{17}{81}$ и $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{4}$;

Точка $2x$ принадлежит третьей четверти, значит:

$$\pi <2x<\frac{3\pi }{2};$$

$$\cos 2x=-\sqrt{\frac{1+\cos 4x}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{17}{81}}{2}}=-\sqrt{\frac{81+17}{2\cdot 81}}=$$

$$=-\sqrt{\frac{98}{162}}=-\sqrt{\frac{49}{81}}=-\frac{7}{9}\mathrm{.}$$

Точка $x$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{7}{9}}{1-\frac{7}{9}}}=-\sqrt{\frac{\frac{16}{9}}{\frac{2}{9}}}=-\sqrt{\frac{16}{9}\cdot \frac{9}{2}}=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $-2\sqrt{2}$.

а) Дано:

$$\cos 4x=-\frac{527}{625},\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Определим, в какой четверти находится угол $2x$

Умножим неравенство:

$$\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{\pi }{2}<2x<\pi \mathrm{.}$$

Это вторая четверть, где:

• $\cos (2x)<0$

Шаг 2. Используем формулу понижения аргумента для косинуса:

$$\cos (2x)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (4x)}{2}}\mathrm{.}$$

Так как $\cos (2x)<0$, берём знак «минус»:

$$\cos (2x)=-\sqrt{\frac{1+\cos (4x)}{2}}\mathrm{.}$$

Подставим $\cos (4x)=-\frac{527}{625}$:

$$\cos (2x)=-\sqrt{\frac{1-\frac{527}{625}}{2}}=-\sqrt{\frac{625-527}{2\cdot 625}}=-\sqrt{\frac{98}{1250}}\mathrm{.}$$

Разложим:

$$\frac{98}{1250}=\frac{49\cdot 2}{625\cdot 2}=\frac{49}{625}\Rightarrow \cos (2x)=-\frac{7}{25}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Определим, в какой четверти находится $x$

$$\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}\Rightarrow x\text{ в первой четверти},\sin (x)>0.$$

Шаг 4. Используем формулу понижения аргумента для синуса:

$$\sin (x)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (2x)}{2}}\mathrm{.}$$

Берём положительный корень:

$$\sin (x)=\sqrt{\frac{1-(-\frac{7}{25})}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}}=\sqrt{\frac{32}{50}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

Ответ а):

$$\sin x=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

б) Дано:

$$\cos 4x=\frac{17}{81},\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{4}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Найдём, где находится $2x$:

$$\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{4}\Rightarrow \pi <2x<\frac{3\pi }{2}\mathrm{.}$$

Это третья четверть, где $\cos (2x)<0$.

Шаг 2. Формула понижения аргумента:

$$\cos (2x)=-\sqrt{\frac{1+\cos (4x)}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{17}{81}}{2}}=-\sqrt{\frac{98}{162}}=-\sqrt{\frac{49}{81}}=-\frac{7}{9}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Найдём $\cos (x)$ через формулу двойного угла:

$$\cos (2x)=2{\cos }^2(x)-1=-\frac{7}{9}\mathrm{.}$$

Решим уравнение:

$$2{\cos }^2(x)=1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}\Rightarrow {\cos }^2(x)=\frac{1}{9}\mathrm{.}$$$$\cos (x)=\pm \frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Так как $x$ во второй четверти, где $\cos (x)<0$, берём:

$$\cos (x)=-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Используем формулу для тангенса:

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\mathrm{.}$$

Подставим:

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}}=-\sqrt{\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}}=-\sqrt{2}\Rightarrow \text{ошибка}\mathrm{.}$$

Корректный способ — через формулу косинуса двойного угла:

$$\cos (2x)=\frac{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}\mathrm{.}$$

Подставим:

$$\frac{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=-\frac{7}{9}\mathrm{.}$$

Обозначим ${\mathrm{tg}}^{2}x=t$:

$$\frac{1-t}{1+t}=-\frac{7}{9}\mathrm{.}$$

Решаем:

$$(1-t)\cdot 9=(1+t)\cdot (-7)\Rightarrow 9-9t=-7-7t\mathrm{.}$$$$16=2t\Rightarrow t=8\Rightarrow \mathrm{tg}x=\pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Так как $x$ во второй четверти, где $\mathrm{tg}x<0$, то:

$$\mathrm{tg}x=-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ б):

$$\mathrm{tg}x=-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$