ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \sin \frac{\pi}{12}$, $b = \frac{1}{4}$;

б) $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}$, $b=\frac{1}{2}$

Сравнить числа $a$ и $b$, если:

а) $a = \sin \frac{\pi}{12}$, $b = \frac{1}{4}$;

Значение числа $a$:

$$a = +\sqrt{\sin^2 \frac{\pi}{6 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{\pi}{6}}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2};$$

Допустим, что $a > b$, тогда:

$$a — b > 0;$$ $$\frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2} — \frac{1}{4} > 0;$$ $$2\sqrt{2 — \sqrt{3}} — 1 > 0;$$ $$2\sqrt{2 — \sqrt{3}} > 1;$$ $$4(2 — \sqrt{3}) > 1;$$ $$8 — 4\sqrt{3} > 1;$$ $$4\sqrt{3} < 7;$$ $$16 \cdot 3 < 49;$$ $$48 < 49 \quad \text{— верно};$$

Ответ: $a > b$.

б) $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}$, $b = \frac{1}{2}$;

Значение числа $a$:

$$a = +\sqrt{\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{2} : \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}};$$ $$a = \sqrt{\frac{(2 — \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{4 — 4\sqrt{2} + 2}{4 — 2}} = \sqrt{\frac{6 — 4\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3 — 2\sqrt{2}};$$

Допустим, что $a < b$, тогда:

$$a — b < 0;$$ $$\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} — \frac{1}{2} < 0;$$ $$2\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} — 1 < 0;$$ $$2\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} < 1;$$ $$4(3 — 2\sqrt{2}) < 1;$$ $$12 — 8\sqrt{2} < 1;$$ $$8\sqrt{2} > 11;$$ $$64 \cdot 2 > 121;$$ $$128 > 121 \quad \text{— верно};$$

Ответ: $a < b$.

Нужно сравнить числа $a$ и $b$ в двух частях задачи.

а) $a = \sin \frac{\pi}{12}$, $b = \frac{1}{4}$

1. Вычисление значения $a = \sin \frac{\pi}{12}$:

Начнем с того, что $\frac{\pi}{12}$ можно представить как половину угла $\frac{\pi}{6}$. Это полезно, так как мы знаем значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{6}$.

Для вычисления $\sin \frac{\pi}{12}$ можно использовать тригонометрическое тождество для синуса половинного угла:

$$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 — \cos x}{2}}.$$

Для угла $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6 \cdot 2}$ подставляем $x = \frac{\pi}{6}$ в тождество:

$$\sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{\pi}{6}}{2}}.$$

Значение $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение:

$$\sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2}.$$

Итак, $a = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2}$.

2. Сравнение $a$ с $b = \frac{1}{4}$:

Теперь, чтобы сравнить $a$ и $b$, воспользуемся неравенствами и преобразованиями:

$$a — b > 0 \quad \text{(предположим, что \( a > b \))}.$$

Подставим выражения для $a$ и $b$:

$$\frac{\sqrt{2 — \sqrt{3}}}{2} — \frac{1}{4} > 0.$$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 4:

$$2\sqrt{2 — \sqrt{3}} — 1 > 0.$$

Добавим 1 к обеим частям:

$$2\sqrt{2 — \sqrt{3}} > 1.$$

Теперь умножим обе части на 4:

$$4(2 — \sqrt{3}) > 1.$$

Раскроем скобки:

$$8 — 4\sqrt{3} > 1.$$

Теперь перенесем все числа в одну сторону:

$$8 — 1 > 4\sqrt{3},$$ $$7 > 4\sqrt{3}.$$

Теперь разделим обе части на 4:

$$\frac{7}{4} > \sqrt{3}.$$

Знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, и $\frac{7}{4} = 1.75$, следовательно:

$$1.75 > 1.732 \quad \text{— это верно}.$$

Итак, $a > b$, что означает, что $\sin \frac{\pi}{12} > \frac{1}{4}$.

Ответ для части а): $a > b$.

б) $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}$, $b = \frac{1}{2}$

1. Вычисление значения $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}$:

Для того чтобы вычислить $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}$, применим аналогичный подход, как и в первой части, но с использованием тангенса:

$$a = +\sqrt{\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}}.$$

Значение $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение:

$$a = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}.$$

Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю:

$$a = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}.$$

Теперь приведем это выражение к более удобному виду. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 — \sqrt{2})$ для упрощения дроби:

$$a = \sqrt{\frac{(2 — \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2})}}.$$

В знаменателе применяем разность квадратов:

$$(2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2}) = 4 — 2 = 2.$$

Теперь раскрываем квадрат в числителе:

$$(2 — \sqrt{2})^2 = 4 — 4\sqrt{2} + 2 = 6 — 4\sqrt{2}.$$

Подставляем это в выражение для $a$:

$$a = \sqrt{\frac{6 — 4\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3 — 2\sqrt{2}}.$$

Итак, $a = \sqrt{3 — 2\sqrt{2}}$.

2. Сравнение $a$ с $b = \frac{1}{2}$:

Теперь проверим, что $a < b$:

$$a — b < 0 \quad \text{(предположим, что \( a < b \))}.$$

Подставим выражения для $a$ и $b$:

$$\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} — \frac{1}{2} < 0.$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} — 1 < 0.$$

Добавим 1 к обеим частям:

$$2\sqrt{3 — 2\sqrt{2}} < 1.$$

Теперь умножим обе части на 4:

$$4(3 — 2\sqrt{2}) < 1.$$

Раскроем скобки:

$$12 — 8\sqrt{2} < 1.$$

Переносим все числа в одну сторону:

$$12 — 1 < 8\sqrt{2},$$ $$11 < 8\sqrt{2}.$$

Теперь разделим обе части на 8:

$$\frac{11}{8} < \sqrt{2}.$$

Знаем, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, а $\frac{11}{8} = 1.375$, следовательно:

$$1.375 < 1.414 \quad \text{— это верно}.$$

Итак, $a < b$, что означает, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} < \frac{1}{2}$.

Ответ для части б): $a < b$.

Итоги:

• Ответ для части а): $a > b$.
• Ответ для части б): $a < b$.