ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выразите:

a) sin3x через sinх;

б) cos3x через cosx.

а) Выразить $\sin 3x$ через $\sin x$;

$$\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x=$$

$$\sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x =$$ $$=2\sin x\cdot \cos x\cdot \cos x+({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)\cdot \sin x=$$

$$= 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \sin x =$$ $$=2\sin x\cdot {\cos }^{2}x+((1-{\sin }^{2}x)-{\sin }^{2}x)\cdot \sin x=$$

$$= 2 \sin x \cdot \cos^2 x + ((1 — \sin^2 x) — \sin^2 x) \cdot \sin x =$$ $$=2\sin x\cdot (1-{\sin }^{2}x)+(1-2{\sin }^{2}x)\cdot \sin x=$$

$$= 2 \sin x \cdot (1 — \sin^2 x) + (1 — 2 \sin^2 x) \cdot \sin x =$$ $$= 2 \sin x — 2 \sin^3 x + \sin x — 2 \sin^3 x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x.$$

Ответ: $\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$.

б) Выразить $\cos 3x$ через $\cos x$;

$$\cos 3x=\cos (2x+x)=\cos 2x\cdot \cos x-\sin 2x\cdot \sin x=$$

$$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cdot \cos x — \sin 2x \cdot \sin x =$$ $$=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)\cdot \cos x-2\sin x\cdot \cos x\cdot \sin x=$$

$$= (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \sin x =$$ $$=({\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x))\cdot \cos x-2{\sin }^{2}x\cdot \cos x=$$

$$= (\cos^2 x — (1 — \cos^2 x)) \cdot \cos x — 2 \sin^2 x \cdot \cos x =$$ $$=(2{\cos }^{2}x-1)\cdot \cos x-(1-{\cos }^{2}x)\cdot 2\cos x=$$

$$= (2 \cos^2 x — 1) \cdot \cos x — (1 — \cos^2 x) \cdot 2 \cos x =$$ $$= 2 \cos^3 x — \cos x — 2 \cos x + 2 \cos^3 x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x.$$

Ответ: $\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$.

а) Выразить $\sin 3x$ через $\sin x$

Для этого используем формулу для синуса суммы двух углов:

$$\sin(2x + x) = \sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x.$$

Используем формулы для $\sin 2x$ и $\cos 2x$:

Зная основные тригонометрические тождества для удвоенного угла, получаем:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x,$$ $$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставляем эти выражения в исходную формулу:

Теперь подставим выражения для $\sin 2x$ и $\cos 2x$ в формулу для $\sin 3x$:

$$\sin 3x = \left(2 \sin x \cdot \cos x\right) \cdot \cos x + \left(\cos^2 x — \sin^2 x\right) \cdot \sin x.$$

Упрощаем выражение:

Раскроем скобки:

$$\sin 3x = 2 \sin x \cdot \cos^2 x + (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \sin x.$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

Заменим $\cos^2 x$ на $1 — \sin^2 x$ в обоих выражениях:

$$\sin 3x = 2 \sin x \cdot (1 — \sin^2 x) + (1 — \sin^2 x — \sin^2 x) \cdot \sin x.$$

Упрощаем каждое слагаемое:

Раскроем скобки:

$$\sin 3x = 2 \sin x — 2 \sin^3 x + \sin x — 2 \sin^3 x.$$

Теперь соберем подобные слагаемые:

$$\sin 3x = (2 \sin x + \sin x) — (2 \sin^3 x + 2 \sin^3 x).$$ $$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x.$$

Ответ для части а):

$$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x.$$

б) Выразить $\cos 3x$ через $\cos x$

Для выражения $\cos 3x$ используем аналогичную формулу для косинуса суммы двух углов:

$$\cos(2x + x) = \cos 2x \cdot \cos x — \sin 2x \cdot \sin x.$$

Используем формулы для $\cos 2x$ и $\sin 2x$:

Знаем тождества для удвоенных углов:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x,$$ $$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x.$$

Подставляем эти выражения в исходную формулу:

Теперь подставим выражения для $\cos 2x$ и $\sin 2x$ в формулу для $\cos 3x$:

$$\cos 3x = (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \sin x.$$

Упрощаем выражение:

Раскроем скобки:

$$\cos 3x = \cos^2 x \cdot \cos x — \sin^2 x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x \cdot \cos x.$$

Теперь соберем подобные слагаемые:

$$\cos 3x = \cos x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x) — 2 \sin^2 x \cdot \cos x.$$

Используем тождество $\cos^2 x — \sin^2 x = 2 \cos^2 x — 1$:

Заменим $\cos^2 x — \sin^2 x$ на $2 \cos^2 x — 1$:

$$\cos 3x = \cos x \cdot (2 \cos^2 x — 1) — 2 \sin^2 x \cdot \cos x.$$

Приводим к более простому виду:

Теперь у нас есть два слагаемых:

$$\cos 3x = 2 \cos^3 x — \cos x — 2 \sin^2 x \cdot \cos x.$$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$ для упрощения второго слагаемого:

$$\cos 3x = 2 \cos^3 x — \cos x — 2 (1 — \cos^2 x) \cdot \cos x.$$

Упрощаем окончательно:

Раскроем скобки:

$$\cos 3x = 2 \cos^3 x — \cos x — 2 \cos x + 2 \cos^3 x.$$

Теперь соберем подобные слагаемые:

$$\cos 3x = (2 \cos^3 x + 2 \cos^3 x) — ( \cos x + 2 \cos x).$$ $$\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x.$$

Ответ для части б):

$$\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x.$$

Итоги:

• Ответ для части а): $\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$.
• Ответ для части б): $\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$.