ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Опираясь на результаты № 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства:

a) sin3х = 3sinх;

б) cos3x + 3cosх = 0.

Опираясь на результаты задачи 27.38, решить уравнения:

а) $\sin 3x = 3 \sin x$;

$3 \sin x — 4 \sin^3 x = 3 \sin x$;

$-4 \sin^3 x = 0$;

$\sin^3 x = 0$;

$\sin x = 0$;

$x = \pi n$;

Ответ: $\pi n$.

б) $\cos 3x + 3 \cos x = 0$;

$(4 \cos^3 x — 3 \cos x) + 3 \cos x = 0$;

$4 \cos^3 x = 0$;

$\cos^3 x = 0$;

$\cos x = 0$;

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

а) Уравнение:

$$\sin 3x = 3 \sin x$$

Используем формулу для тригонометрического выражения $\sin 3x$, которая выглядит так:

$$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$3 \sin x — 4 \sin^3 x = 3 \sin x$$

Теперь уберем одинаковые члены с обеих сторон:

$$3 \sin x — 4 \sin^3 x — 3 \sin x = 0$$

Упростим это:

$$-4 \sin^3 x = 0$$

Теперь разделим обе части на $-4$:

$$\sin^3 x = 0$$

Решим это уравнение:

$$\sin x = 0$$

Для того чтобы $\sin x = 0$, значение $x$ должно быть кратно $\pi$, т.е.:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта а):

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

б) Уравнение:

$$\cos 3x + 3 \cos x = 0$$

Используем формулу для $\cos 3x$, которая выглядит так:

$$\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$4 \cos^3 x — 3 \cos x + 3 \cos x = 0$$

Теперь упростим:

$$4 \cos^3 x = 0$$

Решим это уравнение:

$$\cos^3 x = 0$$

Следовательно:

$$\cos x = 0$$

Теперь найдем все значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Это будет происходить, когда:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта б):

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговые ответы:

а) $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

б) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$