ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Зная, что $t = 2 \arccos \frac{3}{5}$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\tg t$, $\ctg t$;

б) Зная, что $t = 2 \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\tg t$, $\ctg t$;

в) Зная, что $t = 2 \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\tg t$, $\ctg t$;

г) Зная, что $t = 2 \arcctg \frac{12}{5}$, вычислите: $\sin t$, $\cos t$, $\tg t$, $\ctg t$.

а) Известно, что $t = 2 \arccos \frac{3}{5}$;

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или второй четверти:

$$t = 2 \arccos \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad 0 \leq \frac{t}{2} \leq \pi;$$ $$\cos \frac{t}{2} = \cos \left( \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{3}{5};$$ $$\sin \frac{t}{2} = + \sqrt{1 — \cos^2 \frac{t}{2}} = \sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Значения искомых функций:

$$\sin t = \sin 2 \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25};$$ $$\cos t = \cos 2 \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 — \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} — \frac{16}{25} = -\frac{7}{25};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{24}{25}}{-\frac{7}{25}} = -\frac{24}{25} \cdot \frac{25}{7} = -\frac{24}{7};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{7}{24};$$

Ответ: $\frac{24}{25}; -\frac{7}{25}; -\frac{24}{7}; -\frac{7}{24}$.

б) Известно, что $t = 2 \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$;

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$t = 2 \arctg \left( -\frac{3}{4} \right) \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\tg \frac{t}{2} = \tg \left( \arctg \left( -\frac{3}{4} \right) \right) = -\frac{3}{4};$$ $$\cos \frac{t}{2} = + \sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\sin \frac{t}{2} = \tg \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5};$$

Значения искомых функций:

$$\sin t = \sin 2 \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25};$$ $$\cos t = \cos 2 \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{4}{5} \right)^2 — \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{25} \cdot \frac{25}{7} = -\frac{24}{7};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{7}{24};$$

Ответ: $-\frac{24}{25}; \frac{7}{25}; -\frac{24}{7}; -\frac{7}{24}$.

в) Известно, что $t = 2 \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$;

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или четвертой четверти:

$$t = 2 \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \quad \Rightarrow \quad -\frac{\pi}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2};$$ $$\sin \frac{t}{2} = \sin \left( \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right) \right) = -\frac{5}{13};$$ $$\cos \frac{t}{2} = + \sqrt{1 — \sin^2 \frac{t}{2}} = \sqrt{1 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$

Значения искомых функций:

$$\sin t = \sin 2 \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{120}{169};$$ $$\cos t = \cos 2 \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{12}{13} \right)^2 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2 = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}} = -\frac{120}{169} \cdot \frac{169}{119} = -\frac{120}{119};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{119}{120};$$

Ответ: $-\frac{120}{169}; \frac{119}{169}; -\frac{120}{119}; -\frac{119}{120}$.

г) Известно, что $t = 2 \arcctg \frac{12}{5}$;

Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или второй четверти:

$$t = 2 \arcctg \frac{12}{5} \quad \Rightarrow \quad 0 \leq \frac{t}{2} \leq \pi;$$ $$\ctg \frac{t}{2} = \ctg \left( \arcctg \frac{12}{5} \right) = \frac{12}{5};$$ $$\sin \frac{t}{2} = + \sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2 \frac{t}{2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{144}{25}}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13};$$ $$\cos \frac{t}{2} = \ctg \frac{t}{2} \cdot \sin \frac{t}{2} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13};$$

Значения искомых функций:

$$\sin t = \sin 2 \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169};$$ $$\cos t = \cos 2 \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{12}{13} \right)^2 — \left( \frac{5}{13} \right)^2 = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}} = \frac{120}{169} \cdot \frac{169}{119} = \frac{120}{119};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = \frac{119}{120};$$

Ответ: $\frac{120}{169}; \frac{119}{169}; \frac{120}{119}; \frac{119}{120}$.

а) Условие: $t = 2 \arccos \frac{3}{5}$.

1) Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или второй четверти:

• $t = 2 \arccos \frac{3}{5}$.
• Арккосинус $\arccos$ принимает значения в пределах от $0$ до $\pi$, то есть:

  $$0 \leq \arccos \frac{3}{5} \leq \pi.$$

• Умножая на 2, получаем:

  $$0 \leq t \leq 2 \cdot \pi.$$

• Разделим $t$ на 2:

  $$0 \leq \frac{t}{2} \leq \pi.$$

• Таким образом, $\frac{t}{2}$ находится в пределах от 0 до $\pi$, а значит, точка $\frac{t}{2}$ лежит в первой или второй четверти, где синус положительный, а косинус также положительный или отрицательный.

2) Значения искомых функций:

1. $\cos \frac{t}{2}$:
   По определению:

   $$\cos \frac{t}{2} = \cos \left( \arccos \frac{3}{5} \right) = \frac{3}{5}.$$

2. $\sin \frac{t}{2}$:
   Для вычисления синуса используем формулу:

   $$\sin \frac{t}{2} = + \sqrt{1 — \cos^2 \frac{t}{2}} = \sqrt{1 — \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

   Здесь знак «+» выбран, так как $\frac{t}{2}$ лежит в первой или второй четверти, где синус положителен.

Теперь вычислим остальные функции, используя полученные значения синуса и косинуса.

1. $\sin t$:
   Для удвоения угла используем формулу:

   $$\sin t = \sin 2 \cdot \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2}.$$

   Подставляем известные значения:

   $$\sin t = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}.$$

2. $\cos t$:
   Для вычисления косинуса используем формулу для удвоения угла:

   $$\cos t = \cos 2 \cdot \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2}.$$

   Подставляем значения:

   $$\cos t = \left( \frac{3}{5} \right)^2 — \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} — \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}.$$

3. $\tg t$:
   Тангенс угла $t$ равен отношению синуса к косинусу:

   $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{24}{25}}{-\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}.$$

4. $\ctg t$:
   Котангенс угла $t$ — это обратная величина тангенса:

   $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{7}{24}.$$

Ответ:

$$\sin t = \frac{24}{25}, \quad \cos t = -\frac{7}{25}, \quad \tg t = -\frac{24}{7}, \quad \ctg t = -\frac{7}{24}.$$

б) Условие: $t = 2 \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$.

1) Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или четвертой четверти:

• $t = 2 \arctg \left( -\frac{3}{4} \right)$, значит, $-\frac{\pi}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2}$, так как функция $\arctg$ определена на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$.
• Следовательно, $\frac{t}{2}$ лежит в первой или четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.

2) Значения искомых функций:

1. $\tg \frac{t}{2}$:
   По определению:

   $$\tg \frac{t}{2} = \tg \left( \arctg \left( -\frac{3}{4} \right) \right) = -\frac{3}{4}.$$

2. $\cos \frac{t}{2}$:
   Для вычисления косинуса используем формулу:

   $$\cos \frac{t}{2} = + \sqrt{\frac{1}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{9}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

3. $\sin \frac{t}{2}$:
   Синус угла можно найти из соотношения:

   $$\sin \frac{t}{2} = \tg \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}.$$

Теперь вычислим остальные функции, используя полученные значения синуса и косинуса.

1. $\sin t$:

   $$\sin t = \sin 2 \cdot \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \left( -\frac{3}{5} \right) \cdot \frac{4}{5} = -\frac{24}{25}.$$

2. $\cos t$:

   $$\cos t = \cos 2 \cdot \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{4}{5} \right)^2 — \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} — \frac{9}{25} = \frac{7}{25}.$$

3. $\tg t$:

   $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}.$$

4. $\ctg t$:

   $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{7}{24}.$$

Ответ:

$$\sin t = -\frac{24}{25}, \quad \cos t = \frac{7}{25}, \quad \tg t = -\frac{24}{7}, \quad \ctg t = -\frac{7}{24}.$$

в) Условие: $t = 2 \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$.

1) Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или четвертой четверти:

• $t = 2 \arcsin \left( -\frac{5}{13} \right)$, значит, $-\frac{\pi}{2} \leq \frac{t}{2} \leq \frac{\pi}{2}$, так как функция $\arcsin$ определена на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$.
• Следовательно, $\frac{t}{2}$ лежит в первой или четвертой четверти, где синус отрицателен, а косинус положителен.

2) Значения искомых функций:

1. $\sin \frac{t}{2}$:

   $$\sin \frac{t}{2} = -\frac{5}{13}.$$

2. $\cos \frac{t}{2}$:
   Для вычисления косинуса используем формулу:

   $$\cos \frac{t}{2} = + \sqrt{1 — \sin^2 \frac{t}{2}} = \sqrt{1 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \sqrt{1 — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.$$

Теперь вычислим остальные функции, используя полученные значения синуса и косинуса.

1. $\sin t$:

   $$\sin t = \sin 2 \cdot \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{120}{169}.$$

2. $\cos t$:

   $$\cos t = \cos 2 \cdot \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{12}{13} \right)^2 — \left( -\frac{5}{13} \right)^2 = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169}.$$

3. $\tg t$:

   $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119}.$$

4. $\ctg t$:

   $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{119}{120}.$$

Ответ:

$$\sin t = -\frac{120}{169}, \quad \cos t = \frac{119}{169}, \quad \tg t = -\frac{120}{119}, \quad \ctg t = -\frac{119}{120}.$$

г) Условие: $t = 2 \arcctg \frac{12}{5}$.

1) Точка $\frac{t}{2}$ принадлежит первой или второй четверти:

• $t = 2 \arcctg \frac{12}{5}$, значит, $0 \leq \frac{t}{2} \leq \pi$.
• Следовательно, $\frac{t}{2}$ лежит в первой или второй четверти.

2) Значения искомых функций:

1. $\ctg \frac{t}{2}$:

   $$\ctg \frac{t}{2} = \frac{12}{5}.$$

2. $\sin \frac{t}{2}$:

   $$\sin \frac{t}{2} = + \sqrt{\frac{1}{1 + \ctg^2 \frac{t}{2}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \left( \frac{12}{5} \right)^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{144}{25}}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}.$$

3. $\cos \frac{t}{2}$:

   $$\cos \frac{t}{2} = \ctg \frac{t}{2} \cdot \sin \frac{t}{2} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}.$$

Теперь вычислим остальные функции.

1. $\sin t$:

   $$\sin t = \sin 2 \cdot \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}.$$

2. $\cos t$:

   $$\cos t = \cos 2 \cdot \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} — \sin^2 \frac{t}{2} = \left( \frac{12}{13} \right)^2 — \left( \frac{5}{13} \right)^2 = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169}.$$

3. $\tg t$:

   $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}} = \frac{120}{119}.$$

4. $\ctg t$:

   $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = \frac{119}{120}.$$

Ответ:

$$\sin t = \frac{120}{169}, \quad \cos t = \frac{119}{169}, \quad \tg t = \frac{120}{119}, \quad \ctg t = \frac{119}{120}.$$