ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) 3sin2х + cos2х = 1;

б) cos4х + 2sin4х = 1.

а) $3\sin 2x+\cos 2x=1$;

$3\cdot 2\sin x\cdot \cos x+({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$;

$6\sin x\cdot \cos x-2{\sin }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\sin }^{2}x$;

$6\mathrm{ctg}x-2=0$;

$6\mathrm{tg}x=2$;

$\mathrm{ctg}x=\frac{1}{3}$;

$\mathrm{tg}x=3$;

$x=\mathrm{arctg}3+\pi n$;

Одно из решений:

$\sin x=0$;

$x=\pi n$;

Ответ: $\mathrm{arctg}3+\pi n;\pi n$.

б) $\cos 4x+2\sin 4x=1$;

$({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x)+2\cdot 2\sin 2x\cdot \cos 2x={\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x$;

$4\sin 2x\cdot \cos 2x-2{\sin }^{2}2x=0\mathrm{\mid }:{\sin }^{2}2x$;

$4\mathrm{ctg}2x-2=0$;

;

;

;

$2x=\mathrm{arctg}2+\pi n$;

$x=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}2+\frac{\pi n}{2}$;

Одно из решений:

$\sin 2x=0$;

$2x=\pi n$;

$x=\frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}2+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi n}{2}$.

а) $3\sin 2x+\cos 2x=1$

Шаг 1: Применяем формулы двойных углов

Мы начинаем с того, что разлагаем $\sin 2x$ и $\cos 2x$ через формулы для двойных углов:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$3\sin 2x+\cos 2x=1$$

Получаем:

$$3\cdot 2\sin x\cos x+({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=1$$

или

$$6\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение

Используем формулу ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, чтобы заменить сумму квадратов на 1. Тогда уравнение принимает вид:

$$6\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$$

Так как ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, мы можем упростить его:

$$6\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1$$

Это уравнение в этой форме можно решить дальше.

Шаг 3: Разделим на ${\sin }^{2}x$

Теперь, чтобы упростить уравнение и привести его к стандартному виду, поделим обе стороны уравнения на ${\sin }^{2}x$. Получим:

$$\frac{6\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x}-2=0$$

Упростим выражение:

Шаг 4: Разрешаем на 

Теперь решим это уравнение:

Шаг 5: Переводим в тангенс

Так как , то:

$$\mathrm{tg}x=3$$

Шаг 6: Находим решение

Теперь находим решение для $x$. Для этого используем арктангенс:

$$x=\mathrm{arctg}3+\pi n$$

где $n$ — целое число (периодичность функции $\mathrm{tg}x$).

Шаг 7: Проверка дополнительных решений

Кроме того, мы можем учесть, что $\sin x=0$, так как это также может быть решением уравнения. В этом случае:

$$x=\pi n$$

Ответ для части а):

Окончательный ответ для уравнения $3\sin 2x+\cos 2x=1$ будет:

$$x=\mathrm{arctg}3+\pi n;\pi n$$

б) $\cos 4x+2\sin 4x=1$

Шаг 1: Применяем формулы для удвоенного угла

Используем те же формулы для удвоенных углов, что и в предыдущем примере:

$$\cos 4x={\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x,\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\cos 4x+2\sin 4x=1$$

Получаем:

$$({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x)+2\cdot 2\sin 2x\cos 2x=1$$

или

$${\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x+4\sin 2x\cos 2x=1$$

Шаг 2: Используем ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$

Так как ${\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x=1$, подставляем это:

$$1+4\sin 2x\cos 2x-2{\sin }^{2}2x=1$$

Упрощаем уравнение:

$$4\sin 2x\cos 2x-2{\sin }^{2}2x=0$$

Шаг 3: Делим на ${\sin }^{2}2x$

Теперь поделим обе части уравнения на ${\sin }^{2}2x$, чтобы привести его к стандартному виду:

Шаг 4: Решаем уравнение

Решаем уравнение для $\mathrm{ctg}2x$:

Шаг 5: Переводим в тангенс

Так как , получаем:

$$\mathrm{tg}2x=2$$

Шаг 6: Находим решение для $2x$

Теперь находим решение для $2x$:

$$2x=\mathrm{arctg}2+\pi n$$

где $n$ — целое число.

Шаг 7: Разделяем на 2

Теперь, чтобы найти $x$, делим обе части на 2:

$$x=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}2+\frac{\pi n}{2}$$

Шаг 8: Проверка дополнительных решений

Также проверим, есть ли дополнительные решения. Пусть $\sin 2x=0$, тогда:

$$2x=\pi n$$

и, соответственно:

$$x=\frac{\pi n}{2}$$

Ответ для части б):

Окончательный ответ для уравнения $\cos 4x+2\sin 4x=1$ будет:

$$x=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}2+\frac{\pi n}{2};\frac{\pi n}{2}$$