ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение:

а) $(\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin 2x$ на отрезке $\left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right]$;

$$\begin{aligned} & (\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin 2x; \\ & \cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 1 — 2 \sin 2x; \\ & 1 — \sin 2x = 1 — 2 \sin 2x; \\ & \sin 2x = 2 \sin 2x; \\ & \sin 2x = 0; \\ & 2x = \pi n; \\ & x = \frac{\pi n}{2}; \end{aligned}$$

Значения на искомом отрезке:

$$\begin{aligned} & x_1 = \frac{5\pi}{2} = \frac{225\pi}{90}; \\ & x_2 = \frac{6\pi}{2} = 3\pi = \frac{27\pi}{9}; \end{aligned}$$

Ответ: $2$.

б) $2 \cos^2 \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) + 1 = 0$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

$$\begin{aligned} & 2 \cdot \frac{1 — \cos \left(4x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} — 2 \cdot \frac{1 — \cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right)}{2} + 1 = 0; \\ & 1 — \cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) — 1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) + 1 = 0; \\ & 1 — \sin 4x = 0; \\ & 2 \sin 4x = 1; \\ & \sin 4x = \frac{1}{2}; \\ & 4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; \\ & x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}; \end{aligned}$$

Значения на искомом отрезке:

$$\begin{aligned} & x_1 = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{24} + \frac{12\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}; \\ & x_2 = (-1)^3 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + \frac{18\pi}{24} = \frac{17\pi}{24}; \\ & x_3 = (-1)^4 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{4\pi}{4} = \frac{\pi}{24} + \pi = \frac{25\pi}{24}; \\ & x_4 = (-1)^5 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + \frac{30\pi}{24} = \frac{29\pi}{24}; \end{aligned}$$

Ответ: $4$.

Сколько корней имеет уравнение:

а) $(\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin 2x$ на отрезке $\left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right]$;

Исходное уравнение:

$$(\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin 2x$$

Раскрытие квадрата:

$$(\cos x — \sin x)^2 = \cos^2 x — 2 \cos x \sin x + \sin^2 x$$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$1 — 2 \cos x \sin x$$

Таким образом, исходное уравнение превращается в:

$$1 — 2 \cos x \sin x = 1 — 2 \sin 2x$$

Замена $\sin 2x$:

Так как $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, подставим это в уравнение:

$$1 — 2 \cos x \sin x = 1 — 2 \cdot 2 \sin x \cos x$$

Упростим уравнение:

$$1 — 2 \cos x \sin x = 1 — 4 \cos x \sin x$$

Вычитаем 1 из обеих сторон:

$$-2 \cos x \sin x = -4 \cos x \sin x$$

Теперь упростим:

$$-2 \cos x \sin x + 4 \cos x \sin x = 0$$ $$2 \cos x \sin x = 0$$

Решаем полученное уравнение:

Умножим обе стороны на 2 (что не изменяет уравнение):

$$\cos x \sin x = 0$$

Это уравнение выполняется при:

• $\cos x = 0$
• $\sin x = 0$

Решение $\cos x = 0$:

Для $\cos x = 0$ решаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решение $\sin x = 0$:

Для $\sin x = 0$ решаем:

$$x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Определим значения корней на отрезке $\left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right]$:

Чтобы найти корни на указанном отрезке, подставим значения $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ и $x = n\pi$ и проверим, какие из них лежат в пределах отрезка.

Для $x = n\pi$:

Найдем минимальное и максимальное значение $n$, при которых $x$ попадает в отрезок:

$$\frac{20\pi}{9} \leq n\pi \leq \frac{28\pi}{9}$$

Разделим на $\pi$:

$$\frac{20}{9} \leq n \leq \frac{28}{9}$$ $$2.22 \leq n \leq 3.11$$

Таким образом, $n = 3$ (только целое число). Получаем:

$$x = 3\pi = \frac{27\pi}{9}$$

Для $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$:

Аналогично:

$$\frac{20\pi}{9} \leq \frac{\pi}{2} + n\pi \leq \frac{28\pi}{9}$$

Решим неравенства:

$$\frac{20\pi}{9} — \frac{\pi}{2} \leq n\pi \leq \frac{28\pi}{9} — \frac{\pi}{2}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{40\pi}{18} — \frac{9\pi}{18} \leq n\pi \leq \frac{56\pi}{18} — \frac{9\pi}{18}$$ $$\frac{31\pi}{18} \leq n\pi \leq \frac{47\pi}{18}$$

Разделим на $\pi$:

$$\frac{31}{18} \leq n \leq \frac{47}{18}$$ $$1.72 \leq n \leq 2.61$$

Таким образом, $n = 2$. Получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$$

Итак, на отрезке $\left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right]$ корни уравнения:

$$x_1 = \frac{5\pi}{2}, \quad x_2 = 3\pi$$

Ответ: 2.

б) $2 \cos^2 \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) + 1 = 0$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

Исходное уравнение:

$$2 \cos^2 \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — 2 \sin^2 \left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) + 1 = 0$$

Используем формулы двойного угла для косинуса и синуса:

Для косинуса:

$$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

Для синуса:

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 — \cos 2\alpha}{2}$$

Подставим эти выражения:

$$2 \cdot \frac{1 + \cos \left(4x + \frac{\pi}{2}\right)}{2} — 2 \cdot \frac{1 — \cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right)}{2} + 1 = 0$$

Упростим выражение:

$$1 + \cos \left(4x + \frac{\pi}{2}\right) — 1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) + 1 = 0$$ $$\cos \left(4x + \frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) + 1 = 0$$

Упрощаем с использованием свойств косинуса:

$$\cos \left(4x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 4x$$ $$\cos \left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) = \sin 4x$$

Получаем:

$$-\sin 4x + \sin 4x + 1 = 0$$

Это упрощается до:

$$1 — \sin 4x = 0$$

Решаем уравнение:

$$\sin 4x = 1$$

Решение $\sin 4x = 1$ дается при:

$$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Находим $x$:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Определим значения корней на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

Найдем значения $x$, которые попадают в указанный отрезок.

Для $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$:

Подставим значения $n = 0, 1, 2, 3, 4$, чтобы проверить, попадает ли $x$ в отрезок.

Значения:

• $x_1 = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{4} = \frac{13\pi}{24}$
• $x_2 = \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{4} = \frac{17\pi}{24}$
• $x_3 = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{25\pi}{24}$
• $x_4 = \frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4} = \frac{29\pi}{24}$

Ответ: 4.