ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $∣ x ∣ < 4$ :

a) $4 \sin^{2} x + \sin^{2} 2 x = 3$

б) $4 \cos^{2} 2 x + 8 \cos^{2} x = 7$

Краткий ответ:

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $∣ x ∣ < 4$ :

a) $4 \sin^{2} x + \sin^{2} 2 x = 3$

Преобразуем уравнение:

$4 \cdot \frac{1 - \cos 2 x}{2} + (1 - \cos^{2} 2 x) = 3$

$2 - 2 \cos 2 x + 1 - \cos^{2} 2 x = 3$

$2 \cos 2 x + \cos^{2} 2 x = 0$

$\cos 2 x \cdot (2 + \cos 2 x) = 0$

Решаем уравнение:

Первое уравнение: $\cos 2 x = 0$
$2 x = \frac{π}{2} + π n$
$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} = \frac{π + 2 π n}{4}$
Второе уравнение: $2 + \cos 2 x = 0$
$\cos 2 x = - 2 (корней нет)$

На указанном промежутке $∣ x ∣ < 4$ :

$x_{1} = \frac{π - 2 π \cdot 3}{4} = - \frac{5 π}{4}$

$x_{2} = \frac{π - 2 π \cdot 2}{4} = - \frac{3 π}{4}$

$x_{3} = \frac{π - 2 π \cdot 1}{4} = - \frac{π}{4}$

$x_{4} = \frac{π + 2 π \cdot 0}{4} = \frac{π}{4}$

$x_{5} = \frac{π + 2 π \cdot 1}{4} = \frac{3 π}{4}$

$x_{6} = \frac{π + 2 π \cdot 2}{4} = \frac{5 π}{4}$

Ответ:

$\pm \frac{π}{4}, \pm \frac{3 π}{4}, \pm \frac{5 π}{4}$

б) $4 \cos^{2} 2 x + 8 \cos^{2} x = 7$

Преобразуем уравнение:

$4 \cos^{2} 2 x + 8 \cdot \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 7$

$4 \cos^{2} 2 x + 4 + 4 \cos 2 x = 7$

$4 \cos^{2} 2 x + 4 \cos 2 x - 3 = 0$

Пусть $y = \cos 2 x$ , тогда:

$4 y^{2} + 4 y - 3 = 0$

$D = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 16 + 48 = 64$

$y_{1} = \frac{- 4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{- 12}{8} = - \frac{3}{2}$

$y_{2} = \frac{- 4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Первое значение:

$\cos 2 x = - \frac{3}{2} (корней нет)$

Второе значение:

$\cos 2 x = \frac{1}{2}$

$2 x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 π n = \pm \frac{π}{3} + 2 π n$

$x = \pm \frac{π}{6} + π n = \frac{\pm π + 6 π n}{6}$

На указанном промежутке $∣ x ∣ < 4$ :

$x_{1} = \frac{- π - 6 π \cdot 1}{6} = - \frac{7 π}{6}$

$x_{2} = \frac{π - 6 π \cdot 1}{6} = - \frac{5 π}{6}$

$x_{3} = \frac{- π + 6 π \cdot 0}{6} = - \frac{π}{6}$

$x_{4} = \frac{π + 6 π \cdot 0}{6} = \frac{π}{6}$

$x_{5} = \frac{- π + 6 π \cdot 1}{6} = \frac{5 π}{6}$

$x_{6} = \frac{π + 6 π \cdot 1}{6} = \frac{7 π}{6}$

Ответ:

$\pm \frac{π}{6}, \pm \frac{5 π}{6}, \pm \frac{7 π}{6}$

Подробный ответ:

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $∣ x ∣ < 4$ :

a) $4 \sin^{2} x + \sin^{2} 2 x = 3$

1. Преобразование исходного уравнения:

Исходное уравнение:

$4 \sin^{2} x + \sin^{2} 2 x = 3$

Для упрощения работы с этим уравнением, воспользуемся тригонометрическими идентичностями и постараемся выразить все в терминах $\cos 2 x$ . Начнем с преобразования каждого слагаемого.

1.1. Известно, что $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ — это стандартная формула для удвоенного угла. Подставим её в уравнение:

$4 \sin^{2} x = 4 \cdot \frac{1 - \cos 2 x}{2} = 2 (1 - \cos 2 x)$

Таким образом, получаем:

$2 - 2 \cos 2 x$

1.2. Для второго слагаемого $\sin^{2} 2 x$ также применим стандартную тригонометрическую идентичность:

$\sin^{2} 2 x = 1 - \cos^{2} 2 x$

Теперь у нас следующее уравнение:

$2 - 2 \cos 2 x + (1 - \cos^{2} 2 x) = 3$

1.3. Упростим выражение:

$2 - 2 \cos 2 x + 1 - \cos^{2} 2 x = 3$ $3 - 2 \cos 2 x - \cos^{2} 2 x = 3$

Теперь сократим 3 с обеих сторон:

$- 2 \cos 2 x - \cos^{2} 2 x = 0$

Можно вынести общий множитель:

$\cos 2 x \cdot (2 + \cos 2 x) = 0$

2. Решение уравнения:

Теперь у нас два уравнения для решения:

$\cos 2 x = 0$

$2 + \cos 2 x = 0$

2.1. Решаем первое уравнение:

$\cos 2 x = 0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Мы знаем, что $\cos θ = 0$ при:

$θ = \frac{π}{2} + π n$

Таким образом:

$2 x = \frac{π}{2} + π n$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Таким образом, корни этого уравнения имеют вид:

$x = \frac{π + 2 π n}{4}$

где $n$ — целое число.

2.2. Решаем второе уравнение:

$2 + \cos 2 x = 0$

$\cos 2 x = - 2$

Но $\cos 2 x$ может принимать значения только в интервале от -1 до 1, следовательно, у этого уравнения нет решений.

3. На промежутке $∣ x ∣ < 4$ :

Теперь определим, какие из найденных значений $x$ удовлетворяют неравенству $∣ x ∣ < 4$ . Из уравнения $x = \frac{π + 2 π n}{4}$ подставляем различные значения $n$ :

Для $n = - 3$ :

$x_{1} = \frac{π - 6 π}{4} = - \frac{5 π}{4}$

Для $n = - 2$ :

$x_{2} = \frac{π - 4 π}{4} = - \frac{3 π}{4}$

Для $n = - 1$ :

$x_{3} = \frac{π - 2 π}{4} = - \frac{π}{4}$

Для $n = 0$ :

$x_{4} = \frac{π}{4}$

Для $n = 1$ :

$x_{5} = \frac{3 π}{4}$

Для $n = 2$ :

$x_{6} = \frac{5 π}{4}$

Корни, удовлетворяющие неравенству $∣ x ∣ < 4$ , это:

$x_{1} = - \frac{5 π}{4}, x_{2} = - \frac{3 π}{4}, x_{3} = - \frac{π}{4}, x_{4} = \frac{π}{4}, x_{5} = \frac{3 π}{4}, x_{6} = \frac{5 π}{4}$

Ответ:

$\pm \frac{π}{4}, \pm \frac{3 π}{4}, \pm \frac{5 π}{4}$

б) $4 \cos^{2} 2 x + 8 \cos^{2} x = 7$

1. Преобразование исходного уравнения:

Исходное уравнение:

$4 \cos^{2} 2 x + 8 \cos^{2} x = 7$

Мы видим, что нужно выразить всё в терминах $\cos 2 x$ , так как это облегчает решение. Начнем с преобразования второго слагаемого:

1.1. Используем формулу для $\cos^{2} x$ , чтобы преобразовать $\cos^{2} x$ :

$\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}$

Тогда:

$8 \cos^{2} x = 8 \cdot \frac{1 + \cos 2 x}{2} = 4 (1 + \cos 2 x) = 4 + 4 \cos 2 x$

Теперь уравнение примет вид:

$4 \cos^{2} 2 x + 4 + 4 \cos 2 x = 7$

Упростим:

$4 \cos^{2} 2 x + 4 \cos 2 x + 4 = 7$

Вычтем 4 с обеих сторон:

$4 \cos^{2} 2 x + 4 \cos 2 x - 3 = 0$

2. Решение уравнения:

Это квадратное уравнение относительно $\cos 2 x$ . Обозначим $y = \cos 2 x$ , и у нас получится уравнение:

$4 y^{2} + 4 y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения:

$y_{1} = \frac{- 4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{- 12}{8} = - \frac{3}{2}$ $y_{2} = \frac{- 4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

3. Решение для $y_{1} = - \frac{3}{2}$ :

$\cos 2 x = - \frac{3}{2}$

Так как $\cos 2 x$ не может быть больше 1 по величине, у этого уравнения нет решений.

4. Решение для $y_{2} = \frac{1}{2}$ :

Теперь решаем уравнение $\cos 2 x = \frac{1}{2}$ . Это стандартное тригонометрическое уравнение:

$2 x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 π n$

Значение $\arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ , поэтому:

$2 x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n$

Делим обе части на 2:

$x = \pm \frac{π}{6} + π n = \frac{\pm π + 6 π n}{6}$

5. На промежутке $∣ x ∣ < 4$ :

Подставим различные значения $n$ :

Для $n = - 1$ :

$x_{1} = \frac{- π - 6 π}{6} = - \frac{7 π}{6}$

Для $n = - 1$ :

$x_{2} = \frac{π - 6 π}{6} = - \frac{5 π}{6}$

Для $n = 0$ :

$x_{3} = \frac{- π + 6 π \cdot 0}{6} = - \frac{π}{6}$

Для $n = 0$ :

$x_{4} = \frac{π + 6 π \cdot 0}{6} = \frac{π}{6}$

Для $n = 1$ :

$x_{5} = \frac{- π + 6 π}{6} = \frac{5 π}{6}$

Для $n = 1$ :

$x_{6} = \frac{π + 6 π}{6} = \frac{7 π}{6}$

Ответ:

$\pm \frac{π}{6}, \pm \frac{5 π}{6}, \pm \frac{7 π}{6}$

Оцени решение