ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$:

a) $4{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x=3$

Преобразуем уравнение:

$$4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+(1-{\cos }^{2}2x)=3$$

$$2-2\cos 2x+1-{\cos }^{2}2x=3$$

$$2\cos 2x+{\cos }^{2}2x=0$$

$$\cos 2x\cdot (2+\cos 2x)=0$$

Решаем уравнение:

• Первое уравнение:$$\cos 2x=0$$
• $$\mathrm{}$$$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$
• $$$$$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi +2\pi n}{4}$$
• Второе уравнение:$$2+\cos 2x=0$$
• $$\mathrm{}$$$$\cos 2x=-2\text{(корней нет)}$$

На указанном промежутке $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$:

$$x_1=\frac{\pi -2\pi \cdot 3}{4}=-\frac{5\pi }{4}$$

$$x_2=\frac{\pi -2\pi \cdot 2}{4}=-\frac{3\pi }{4}$$

$$x_3=\frac{\pi -2\pi \cdot 1}{4}=-\frac{\pi }{4}$$

$$x_4=\frac{\pi +2\pi \cdot 0}{4}=\frac{\pi }{4}$$

$$x_5=\frac{\pi +2\pi \cdot 1}{4}=\frac{3\pi }{4}$$

$$x_6=\frac{\pi +2\pi \cdot 2}{4}=\frac{5\pi }{4}$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi }{4},\pm \frac{3\pi }{4},\pm \frac{5\pi }{4}$$

б) $4{\cos }^{2}2x+8{\cos }^{2}x=7$

Преобразуем уравнение:

$$4{\cos }^{2}2x+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=7$$

$$4{\cos }^{2}2x+4+4\cos 2x=7$$

$$4{\cos }^{2}2x+4\cos 2x-3=0$$

Пусть $y=\cos 2x$, тогда:

$$4y^2+4y-3=0$$

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot (-3)=16+48=64$$

$$y_1=\frac{-4-8}{2\cdot 4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$$

$$y_2=\frac{-4+8}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

Первое значение:

$$\cos 2x=-\frac{3}{2}\text{(корней нет)}$$

Второе значение:

$$\cos 2x=\frac{1}{2}$$

$$2x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$$

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n=\frac{\pm \pi +6\pi n}{6}$$

На указанном промежутке $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$:

$$x_1=\frac{-\pi -6\pi \cdot 1}{6}=-\frac{7\pi }{6}$$

$$x_2=\frac{\pi -6\pi \cdot 1}{6}=-\frac{5\pi }{6}$$

$$x_3=\frac{-\pi +6\pi \cdot 0}{6}=-\frac{\pi }{6}$$

$$x_4=\frac{\pi +6\pi \cdot 0}{6}=\frac{\pi }{6}$$

$$x_5=\frac{-\pi +6\pi \cdot 1}{6}=\frac{5\pi }{6}$$

$$x_6=\frac{\pi +6\pi \cdot 1}{6}=\frac{7\pi }{6}$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi }{6},\pm \frac{5\pi }{6},\pm \frac{7\pi }{6}$$

Найти корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$:

a) $4{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x=3$

1. Преобразование исходного уравнения:

Исходное уравнение:

$$4{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x=3$$

Для упрощения работы с этим уравнением, воспользуемся тригонометрическими идентичностями и постараемся выразить все в терминах $\cos 2x$. Начнем с преобразования каждого слагаемого.

1.1. Известно, что ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ — это стандартная формула для удвоенного угла. Подставим её в уравнение:

$$4{\sin }^{2}x=4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=2(1-\cos 2x)$$

Таким образом, получаем:

$$2-2\cos 2x$$

1.2. Для второго слагаемого ${\sin }^{2}2x$ также применим стандартную тригонометрическую идентичность:

$${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x$$

Теперь у нас следующее уравнение:

$$2-2\cos 2x+(1-{\cos }^{2}2x)=3$$

1.3. Упростим выражение:

$$2-2\cos 2x+1-{\cos }^{2}2x=3$$$$3-2\cos 2x-{\cos }^{2}2x=3$$

Теперь сократим 3 с обеих сторон:

$$-2\cos 2x-{\cos }^{2}2x=0$$

Можно вынести общий множитель:

$$\cos 2x\cdot (2+\cos 2x)=0$$

2. Решение уравнения:

Теперь у нас два уравнения для решения:

$\cos 2x=0$

$2+\cos 2x=0$

2.1. Решаем первое уравнение:

$\cos 2x=0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Мы знаем, что $\cos \theta =0$ при:

$$\theta =\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Таким образом:

$$2x=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Разделим обе части на 2:

$$x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Таким образом, корни этого уравнения имеют вид:

$$x=\frac{\pi +2\pi n}{4}$$

где $n$ — целое число.

2.2. Решаем второе уравнение:

$2+\cos 2x=0$

$$\cos 2x=-2$$

Но $\cos 2x$ может принимать значения только в интервале от -1 до 1, следовательно, у этого уравнения нет решений.

3. На промежутке $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$:

Теперь определим, какие из найденных значений $x$ удовлетворяют неравенству $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$. Из уравнения $x=\frac{\pi +2\pi n}{4}$ подставляем различные значения $n$:

Для $n=-3$:

$$x_1=\frac{\pi -6\pi }{4}=-\frac{5\pi }{4}$$

Для $n=-2$:

$$x_2=\frac{\pi -4\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}$$

Для $n=-1$:

$$x_3=\frac{\pi -2\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$$

Для $n=0$:

$$x_4=\frac{\pi }{4}$$

Для $n=1$:

$$x_5=\frac{3\pi }{4}$$

Для $n=2$:

$$x_6=\frac{5\pi }{4}$$

Корни, удовлетворяющие неравенству $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$, это:

$$x_1=-\frac{5\pi }{4},x_2=-\frac{3\pi }{4},x_3=-\frac{\pi }{4},x_4=\frac{\pi }{4},x_5=\frac{3\pi }{4},x_6=\frac{5\pi }{4}$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi }{4},\pm \frac{3\pi }{4},\pm \frac{5\pi }{4}$$

б) $4{\cos }^{2}2x+8{\cos }^{2}x=7$

1. Преобразование исходного уравнения:

Исходное уравнение:

$$4{\cos }^{2}2x+8{\cos }^{2}x=7$$

Мы видим, что нужно выразить всё в терминах $\cos 2x$, так как это облегчает решение. Начнем с преобразования второго слагаемого:

1.1. Используем формулу для ${\cos }^{2}x$, чтобы преобразовать ${\cos }^{2}x$:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

Тогда:

$$8{\cos }^{2}x=8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=4(1+\cos 2x)=4+4\cos 2x$$

Теперь уравнение примет вид:

$$4{\cos }^{2}2x+4+4\cos 2x=7$$

Упростим:

$$4{\cos }^{2}2x+4\cos 2x+4=7$$

Вычтем 4 с обеих сторон:

$$4{\cos }^{2}2x+4\cos 2x-3=0$$

2. Решение уравнения:

Это квадратное уравнение относительно $\cos 2x$. Обозначим $y=\cos 2x$, и у нас получится уравнение:

$$4y^2+4y-3=0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot (-3)=16+48=64$$

Корни уравнения:

$$y_1=\frac{-4-8}{2\cdot 4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$$$$y_2=\frac{-4+8}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

3. Решение для $y_1=-\frac{3}{2}$:

$$\cos 2x=-\frac{3}{2}$$

Так как $\cos 2x$ не может быть больше 1 по величине, у этого уравнения нет решений.

4. Решение для $y_2=\frac{1}{2}$:

Теперь решаем уравнение $\cos 2x=\frac{1}{2}$. Это стандартное тригонометрическое уравнение:

$$2x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n$$

Значение $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, поэтому:

$$2x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$$

Делим обе части на 2:

$$x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n=\frac{\pm \pi +6\pi n}{6}$$

5. На промежутке $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<4$:

Подставим различные значения $n$:

Для $n=-1$:

$$x_1=\frac{-\pi -6\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$$

Для $n=-1$:

$$x_2=\frac{\pi -6\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$$

Для $n=0$:

$$x_3=\frac{-\pi +6\pi \cdot 0}{6}=-\frac{\pi }{6}$$

Для $n=0$:

$$x_4=\frac{\pi +6\pi \cdot 0}{6}=\frac{\pi }{6}$$

Для $n=1$:

$$x_5=\frac{-\pi +6\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$$

Для $n=1$:

$$x_6=\frac{\pi +6\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi }{6},\pm \frac{5\pi }{6},\pm \frac{7\pi }{6}$$