ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя замену $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$ и тождества из уравнения 27.59 решить уравнения:

a) $\sin x + 7 \cos x = 5$;

$$\frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} + 7 \cdot \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = 5;$$

Пусть $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$\frac{2u}{1 + u^2} + \frac{7(1 — u^2)}{1 + u^2} = 5;$$ $$2u + 7(1 — u^2) = 5(1 + u^2);$$ $$2u + 7 — 7u^2 = 5 + 5u^2;$$ $$12u^2 — 2u — 2 = 0;$$ $$6u^2 — u — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$u_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3};$$ $$u_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{1}{3};$$ $$\frac{x}{2} = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$x = -2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2 \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n;$$ $$x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + 2 \pi n;$$

Ответ: $-2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2 \pi n; \, 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + 2 \pi n$.

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$;

$$5 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} + 10 \cdot \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} + 2 = 0;$$

Пусть $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$5 \cdot \frac{2u}{1 + u^2} + 10 \cdot \frac{1 — u^2}{1 + u^2} + 2 = 0;$$ $$\frac{10u}{1 + u^2} + \frac{10(1 — u^2)}{1 + u^2} + \frac{2(1 + u^2)}{1 + u^2} = 0;$$ $$10u + 10(1 — u^2) + 2(1 + u^2) = 0;$$ $$10u + 10 — 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0;$$ $$8u^2 — 10u — 12 = 0;$$ $$4u^2 — 5u — 6 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 + 96 = 121, \text{тогда:}$$ $$u_1 = \frac{5 — 11}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4};$$ $$u_2 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{3}{4};$$ $$\frac{x}{2} = -\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n;$$ $$x = -2 \operatorname{arctg} \frac{3}{4} + 2 \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 2;$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$ $$x = 2 \operatorname{arctg} 2 + 2 \pi n;$$

Ответ: $-2 \operatorname{arctg} \frac{3}{4} + 2 \pi n; \, 2 \operatorname{arctg} 2 + 2 \pi n$.

a) $\sin x + 7 \cos x = 5$

Замена и приведение к тангенсу половинного угла

Мы начинаем с того, что используем замену $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$. В этом случае применяем тригонометрические тождества для $\sin x$ и $\cos x$, выраженные через $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$:

• $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2u}{1 + u^2}$
• $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 — u^2}{1 + u^2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$\sin x + 7 \cos x = 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{2u}{1 + u^2} + 7 \cdot \frac{1 — u^2}{1 + u^2} = 5$$

Упрощение уравнения

Приводим обе дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2u}{1 + u^2} + \frac{7(1 — u^2)}{1 + u^2} = 5$$

Теперь у нас общий знаменатель, и можно объединить числители:

$$\frac{2u + 7(1 — u^2)}{1 + u^2} = 5$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{2u + 7 — 7u^2}{1 + u^2} = 5$$

Удаление знаменателя

Умножаем обе части уравнения на $1 + u^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2u + 7 — 7u^2 = 5(1 + u^2)$$

Раскроем скобки с правой стороны:

$$2u + 7 — 7u^2 = 5 + 5u^2$$

Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

$$2u + 7 — 7u^2 — 5 — 5u^2 = 0$$

Упрощаем:

$$2u + 2 — 12u^2 = 0$$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от отрицательного знака перед $u^2$:

$$12u^2 — 2u — 2 = 0$$

Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение:

$$12u^2 — 2u — 2 = 0$$

Разделим все на 2 для упрощения:

$$6u^2 — u — 1 = 0$$

Для решения применим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$

Найдем корни уравнения по формуле для квадратного уравнения $u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $a = 6$, $b = -1$, $c = -1$:

$$u_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 — 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$$ $$u_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Нахождение значения $x$

Теперь находим значения $x$, используя $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$.

Для $u_1 = -\frac{1}{3}$:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$$ $$\frac{x}{2} = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$$ $$x = -2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2 \pi n$$

Для $u_2 = \frac{1}{2}$:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$$ $$x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + 2 \pi n$$

Ответ

Ответ для уравнения $\sin x + 7 \cos x = 5$:

$$x = -2 \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + 2 \pi n, \quad x = 2 \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + 2 \pi n$$

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$

Замена и приведение к тангенсу половинного угла

Используем ту же замену $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$. Подставляем выражения для $\sin x$ и $\cos x$:

• $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{2u}{1 + u^2}$
• $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 — u^2}{1 + u^2}$

Подставляем в исходное уравнение:

$$5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot \frac{2u}{1 + u^2} + 10 \cdot \frac{1 — u^2}{1 + u^2} + 2 = 0$$

Упрощение уравнения

Приводим все к общему знаменателю:

$$\frac{10u}{1 + u^2} + \frac{10(1 — u^2)}{1 + u^2} + \frac{2(1 + u^2)}{1 + u^2} = 0$$

Объединяем числители:

$$\frac{10u + 10(1 — u^2) + 2(1 + u^2)}{1 + u^2} = 0$$

Раскрываем скобки:

$$\frac{10u + 10 — 10u^2 + 2 + 2u^2}{1 + u^2} = 0$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{10u + 12 — 8u^2}{1 + u^2} = 0$$

Удаление знаменателя

Умножаем обе части уравнения на $1 + u^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$10u + 12 — 8u^2 = 0$$

Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону:

$$8u^2 — 10u — 12 = 0$$

Разделим на 2 для упрощения:

$$4u^2 — 5u — 6 = 0$$

Решение квадратного уравнения

Применяем дискриминант для уравнения $4u^2 — 5u — 6 = 0$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$$

Находим корни уравнения по формуле для квадратного уравнения $u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $a = 4$, $b = -5$, $c = -6$:

$$u_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5 — 11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$$ $$u_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

Нахождение значения $x$

Теперь находим значения $x$, используя $u = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$.

Для $u_1 = -\frac{3}{4}$:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{3}{4}$$ $$\frac{x}{2} = -\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n$$ $$x = -2 \operatorname{arctg} \frac{3}{4} + 2 \pi n$$

Для $u_2 = 2$:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 2$$ $$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$ $$x = 2 \operatorname{arctg} 2 + 2 \pi n$$

Ответ

Ответ для уравнения $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$:

$$x = -2 \operatorname{arctg} \frac{3}{4} + 2 \pi n, \quad x = 2 \operatorname{arctg} 2 + 2 \pi n$$