ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Воспользуемся тождествами из задачи 27.59;

Вычислить $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$, если известно, что:

а) $\sin x + \cos x = 1,4, \quad 0 < x < \frac{\pi}{4};$

$5 \sin x + 5 \cos x = 7;$

$5 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} + 5 \cdot \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = 7;$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$5 \cdot \frac{2y}{1 + y^2} + 5 \cdot \frac{1 — y^2}{1 + y^2} = 7;$$ $$10y + 5(1 — y^2) = 7(1 + y^2);$$ $$10y + 5 — 5y^2 = 7 + 7y^2;$$ $$12y^2 — 10y + 2 = 0;$$ $$6y^2 — 5y + 1 = 0;$$

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$ $$y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$

Точка $\frac{x}{2}$ принадлежит первой четверти, значит:

$$0 < x < \frac{\pi}{4} \implies 0 < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{8} \implies 0 < \operatorname{tg} \frac{x}{2} < \operatorname{tg} \frac{\pi}{8};$$ $$\operatorname{tg} \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 — \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 — \sqrt{2})}};$$ $$\sqrt{2} < 1,5 \implies \sqrt{2} — 1 < 0,5;$$ $$\operatorname{tg} \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \implies \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) $\sin x — \cos x = 0,2, \quad \pi < x < \frac{3\pi}{2};$

$5 \sin x — 5 \cos x = 1;$

$5 \cdot \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} — 5 \cdot \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} = 1;$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:

$$5 \cdot \frac{2y}{1 + y^2} — 5 \cdot \frac{1 — y^2}{1 + y^2} = 1;$$ $$10y — 5(1 — y^2) = 1 + y^2;$$ $$10y — 5 + 5y^2 = 1 + y^2;$$ $$4y^2 + 10y — 6 = 0;$$ $$2y^2 + 5y — 3 = 0;$$

$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3;$$ $$y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Точка $\frac{x}{2}$ принадлежит второй четверти, значит:

$$\pi < x < \frac{3\pi}{2} \implies \frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4};$$ $$\operatorname{tg} \frac{x}{2} < 0 \implies \operatorname{tg} \frac{x}{2} = -3;$$

Ответ: $-3$.

a) $\sin x + \cos x = 1,4, \quad 0 < x < \frac{\pi}{4}$

Исходные данные:
Дано уравнение:

$$\sin x + \cos x = 1,4$$

Нужно вычислить $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$.

Используем тождества для половинных углов:

Для вычисления $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$ воспользуемся тождествами, которые выражают $\sin x$ и $\cos x$ через тангенс половинного угла:

• $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$
• $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда у нас следующие выражения для $\sin x$ и $\cos x$:

$$\sin x = \frac{2y}{1 + y^2} \quad \text{и} \quad \cos x = \frac{1 — y^2}{1 + y^2}$$

Подставляем в исходное уравнение:

Теперь подставим эти выражения в данное уравнение $\sin x + \cos x = 1,4$:

$$\frac{2y}{1 + y^2} + \frac{1 — y^2}{1 + y^2} = 1,4$$

Объединяем обе дроби в одну с общим знаменателем:

$$\frac{2y + (1 — y^2)}{1 + y^2} = 1,4$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{2y + 1 — y^2}{1 + y^2} = 1,4$$

Умножаем обе части уравнения на $1 + y^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2y + 1 — y^2 = 1,4(1 + y^2)$$

Раскрываем скобки на правой части:

$$2y + 1 — y^2 = 1,4 + 1,4y^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$2y + 1 — y^2 — 1,4 — 1,4y^2 = 0$$

Упрощаем:

$$2y — 0,4 — 2,4y^2 = 0$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2,4y^2 — 2y + 0,4 = 0$$

Умножаем на 5 для удобства:

$$12y^2 — 10y + 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Решаем полученное квадратное уравнение:

$$12y^2 — 10y + 2 = 0$$

Для решения используем формулу для дискриминанта:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 12 \cdot 2 = 100 — 96 = 4$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{4}}{2 \cdot 12} = \frac{10 — 2}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 12} = \frac{10 + 2}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

Определяем подходящее значение $y$:

Так как $x$ находится в первой четверти, то $\frac{x}{2}$ тоже находится в первой четверти, и тангенс этого угла должен быть положительным. Следовательно, из двух найденных корней $y_1 = \frac{1}{3}$ и $y_2 = \frac{1}{2}$, выберем $y_1 = \frac{1}{3}$, так как оно меньше $\frac{1}{2}$.

Ответ:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$$

б) $\sin x — \cos x = 0,2, \quad \pi < x < \frac{3\pi}{2}$

Исходные данные:
Дано уравнение:

$$\sin x — \cos x = 0,2$$

Нужно вычислить $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$.

Используем тождества для половинных углов:

Для вычисления $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$ снова воспользуемся тождествами, которые выражают $\sin x$ и $\cos x$ через тангенс половинного угла:

• $\sin x = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$
• $\cos x = \frac{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда у нас следующие выражения для $\sin x$ и $\cos x$:

$$\sin x = \frac{2y}{1 + y^2} \quad \text{и} \quad \cos x = \frac{1 — y^2}{1 + y^2}$$

Подставляем в исходное уравнение:

Подставим эти выражения в данное уравнение $\sin x — \cos x = 0,2$:

$$\frac{2y}{1 + y^2} — \frac{1 — y^2}{1 + y^2} = 0,2$$

Объединяем обе дроби в одну с общим знаменателем:

$$\frac{2y — (1 — y^2)}{1 + y^2} = 0,2$$

Упрощаем числитель:

$$\frac{2y — 1 + y^2}{1 + y^2} = 0,2$$

Умножаем обе части уравнения на $1 + y^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2y — 1 + y^2 = 0,2(1 + y^2)$$

Раскрываем скобки на правой части:

$$2y — 1 + y^2 = 0,2 + 0,2y^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$2y — 1 + y^2 — 0,2 — 0,2y^2 = 0$$

Упрощаем:

$$2y — 1,2 + 0,8y^2 = 0$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$0,8y^2 + 2y — 1,2 = 0$$

Умножаем на 10 для удобства:

$$8y^2 + 20y — 12 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Решаем полученное квадратное уравнение:

$$8y^2 + 20y — 12 = 0$$

Для решения используем формулу для дискриминанта:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-12) = 400 + 384 = 784$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-20 — \sqrt{784}}{2 \cdot 8} = \frac{-20 — 28}{16} = \frac{-48}{16} = -3$$ $$y_2 = \frac{-20 + \sqrt{784}}{2 \cdot 8} = \frac{-20 + 28}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Определяем подходящее значение $y$:

Так как $x$ находится во второй четверти, то $\frac{x}{2}$ находится в этой же четверти, и тангенс этого угла должен быть отрицательным. Следовательно, из двух найденных корней $y_1 = -3$ и $y_2 = \frac{1}{2}$, выбираем $y_1 = -3$.

Ответ:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -3$$