ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

$$y = 2(\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x;$$ $$y = 2((1 — \sin^2 x) — \sin^2 x) + \sin^2 x;$$ $$y = 2(1 — 2\sin^2 x) + \sin^2 x;$$ $$y = 2 — 4\sin^2 x + \sin^2 x;$$ $$y = 2 — 3\sin^2 x;$$

Множество значений функции:

$$-1 \leq \sin^2 x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin^2 x \leq 0;$$ $$-3 < -3\sin^2 x \leq 0;$$ $$-1 \leq 2 — 3\sin^2 x \leq 2;$$

Ответ: $-1; 2$.

б) $y = 2\sin^2 3x — \cos 6x$;

$$y = 2\sin^2 3x — (\cos^2 3x — \sin^2 3x);$$ $$y = 2\sin^2 3x — (1 — \sin^2 3x) + \sin^2 3x;$$ $$y = 4\sin^2 3x — 1;$$

Множество значений функции:

$$-1 \leq \sin^2 3x \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 3x \leq 1;$$ $$0 \leq 4\sin^2 3x \leq 4;$$ $$-1 \leq 4\sin^2 3x — 1 \leq 3;$$

Ответ: $-1; 3$.

а) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$$

Применяем формулы для косинуса удвоенного угла:
Известно, что:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, выражение для $y$ преобразуется в:

$$y = 2(\cos^2 x — \sin^2 x) + \sin^2 x$$

Дальше упрощаем выражение:
Раскроем скобки:

$$y = 2\cos^2 x — 2\sin^2 x + \sin^2 x$$

Упростим:

$$y = 2\cos^2 x — \sin^2 x$$

Теперь используем формулу для $\cos^2 x$:
Заменим $\cos^2 x$ через $1 — \sin^2 x$:

$$y = 2(1 — \sin^2 x) — \sin^2 x$$

Раскроем скобки:

$$y = 2 — 2\sin^2 x — \sin^2 x$$

Упростим:

$$y = 2 — 3\sin^2 x$$

Анализируем множество значений функции:
Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 — 3\sin^2 x$, при этом $\sin^2 x$ принимает значения в интервале $[0, 1]$. Это значит, что:

$$0 \leq \sin^2 x \leq 1$$

Теперь исследуем $y$ при крайних значениях $\sin^2 x$.

• Когда $\sin^2 x = 0$:

  $$y = 2 — 3(0) = 2$$

• Когда $\sin^2 x = 1$:

  $$y = 2 — 3(1) = 2 — 3 = -1$$

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно 2, а наименьшее значение $y$ равно -1.

Ответ:

$$\boxed{-1; 2}$$

б) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = 2\sin^2 3x — \cos 6x$$

Используем формулы для косинуса удвоенного угла:
Мы можем воспользоваться формулой для $\cos 2x$, которая равна:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

В данном случае $\cos 6x$ можно выразить как:

$$\cos 6x = \cos^2 3x — \sin^2 3x$$

Таким образом, функция $y$ преобразуется в:

$$y = 2\sin^2 3x — (\cos^2 3x — \sin^2 3x)$$

Раскроем скобки:

$$y = 2\sin^2 3x — \cos^2 3x + \sin^2 3x$$

Упрощаем:

$$y = 3\sin^2 3x — \cos^2 3x$$

Дальше используем формулу для $\cos^2 3x$:
Используем известную формулу:

$$\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x$$

Подставляем:

$$y = 3\sin^2 3x — (1 — \sin^2 3x)$$

Раскрываем скобки:

$$y = 3\sin^2 3x — 1 + \sin^2 3x$$

Упрощаем:

$$y = 4\sin^2 3x — 1$$

Анализируем множество значений функции:
Теперь исследуем выражение $y = 4\sin^2 3x — 1$, при этом $\sin^2 3x$ принимает значения в интервале $[0, 1]$, так что:

$$0 \leq \sin^2 3x \leq 1$$

Таким образом, исследуем $y$ при крайних значениях $\sin^2 3x$.

• Когда $\sin^2 3x = 0$:

  $$y = 4(0) — 1 = -1$$

• Когда $\sin^2 3x = 1$:

  $$y = 4(1) — 1 = 4 — 1 = 3$$

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно 3, а наименьшее значение $y$ равно -1.

Ответ:

$$\boxed{-1; 3}$$

$$\boxed{-1; 2} \quad \text{и} \quad \boxed{-1; 3}$$