ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y=\sin 3x+\cos 2x+4{\sin }^{3}x$

б) $y=\cos 3x+\cos 2x-4{\cos }^{3}x$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin 3x + \cos 2x + 4 \sin^3 x$

Преобразуем функцию:

$$y = (3 \sin x — 4 \sin^3 x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) + 4 \sin^3 x$$ $$y = 3 \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x) — \sin^2 x$$ $$y = -2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1$$

Пусть $t = \sin x$, тогда $t \in [-1; 1]$:

$$y = -2t^2 + 3t + 1, \quad t \in [-1; 1]$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}$$

Значения функции:

$$y(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -2 — 3 + 1 = -4$$ $$y\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} + 1 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 1 = 1 + \frac{9}{8} = 2 \frac{1}{8}$$ $$y(1) = -2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$$

Ответ:

$$-4; \, 2 \frac{1}{8}$$

б) $y = \cos 3x + \cos 2x — 4 \cos^3 x$

Преобразуем функцию:

$$y = (4 \cos^3 x — 3 \cos x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) — 4 \cos^3 x$$ $$y = -3 \cos x + \cos^2 x — (1 — \cos^2 x)$$ $$y = 2 \cos^2 x — 3 \cos x — 1$$

Пусть $t = \cos x$, тогда $t \in [-1; 1]$:

$$y = 2t^2 — 3t — 1, \quad t \in [-1; 1]$$

Абсцисса вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$

Значения функции:

$$y(-1) = 2(-1)^2 — 3(-1) — 1 = 2 + 3 — 1 = 4$$ $$y\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{4} — 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} — \frac{9}{4} — 1 = -1 — \frac{9}{8} = -2 \frac{1}{8}$$ $$y(1) = 2 \cdot 1^2 — 3 \cdot 1 — 1 = 2 — 3 — 1 = -2$$

Ответ:

$$-2 \frac{1}{8}; \, 4$$

а) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = \sin 3x + \cos 2x + 4 \sin^3 x$$

Преобразуем функцию:

Для начала, давайте попробуем упростить выражение функции $y$, используя стандартные тригонометрические тождества.

В выражении $\sin 3x$ мы можем использовать формулу для синуса тройного угла:

$$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$$

Подставим это в исходную функцию:

$$y = (3 \sin x — 4 \sin^3 x) + \cos 2x + 4 \sin^3 x$$

Теперь заметим, что термины с $4 \sin^3 x$ сокращаются:

$$y = 3 \sin x + \cos 2x$$

Следовательно, функция упрощается до:

$$y = 3 \sin x + \cos 2x$$

Используем тождества для тригонометрических функций:

Теперь нам нужно воспользоваться тождеством для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим это в функцию $y$:

$$y = 3 \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x)$$

Далее, выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$, так как $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$. Получим:

$$y = 3 \sin x + (1 — \sin^2 x — \sin^2 x)$$

Упростим выражение:

$$y = 3 \sin x + 1 — 2 \sin^2 x$$

Преобразуем функцию в квадратное уравнение:

Пусть $t = \sin x$, тогда $t \in [-1; 1]$. Тогда функция $y$ примет вид:

$$y = 3t + 1 — 2t^2$$

Это квадратичная функция относительно $t$, где $t$ лежит в интервале $[-1; 1]$.

Находим экстремумы квадратичной функции:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, мы будем использовать свойства квадратичной функции. Функция $y = -2t^2 + 3t + 1$ является параболой, открывающейся вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен.

Для нахождения экстремума (вершины параболы), используем формулу для абсциссы вершины параболы:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

Где $a = -2$ и $b = 3$. Подставим эти значения:

$$t_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}$$

Таким образом, вершина параболы находится при $t = \frac{3}{4}$.

Вычисляем значения функции в критических точках:

Теперь вычислим значения функции $y$ в критических точках, то есть в точках $t = -1$, $t = \frac{3}{4}$ и $t = 1$.

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -2 — 3 + 1 = -4$$

• Для $t = \frac{3}{4}$:

  $$y\left(\frac{3}{4}\right) = -2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} + 1 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 1 = -\frac{18}{16} + \frac{36}{16} + \frac{16}{16} = \frac{34}{16} = 2 \frac{1}{8}$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = -2(1)^2 + 3(1) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$$

Находим наибольшее и наименьшее значение функции:

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно $2 \frac{1}{8}$, а наименьшее значение функции $y$ равно $-4$.

Ответ:

$$\boxed{-4; \, 2 \frac{1}{8}}$$

б) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$$y = \cos 3x + \cos 2x — 4 \cos^3 x$$

Преобразуем функцию:

Для начала, применим формулы для тригонометрических функций, чтобы упростить выражение.

Используем тождество для $\cos 3x$:

$$\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$$

Подставим это в исходную функцию:

$$y = (4 \cos^3 x — 3 \cos x) + \cos 2x — 4 \cos^3 x$$

Теперь видим, что термины с $4 \cos^3 x$ сокращаются:

$$y = -3 \cos x + \cos 2x$$

Используем тождество для $\cos 2x$:

Теперь используем формулу для $\cos 2x$, которая равна:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим это в выражение для $y$:

$$y = -3 \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x)$$

Воспользуемся тем, что $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, чтобы выразить все через $\cos x$:

$$y = -3 \cos x + (1 — \cos^2 x — \sin^2 x)$$

Упростим:

$$y = 2 \cos^2 x — 3 \cos x — 1$$

Преобразуем функцию в квадратное уравнение:

Пусть $t = \cos x$, тогда $t \in [-1; 1]$. Функция $y$ примет вид:

$$y = 2t^2 — 3t — 1$$

Это квадратичная функция относительно $t$, где $t$ лежит в интервале $[-1; 1]$.

Находим экстремумы квадратичной функции:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, мы используем свойства квадратичной функции. Функция $y = 2t^2 — 3t — 1$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен.

Чтобы найти абсциссу вершины параболы, используем формулу для вершины:

$$t_0 = -\frac{b}{2a}$$

Где $a = 2$ и $b = -3$. Подставим эти значения:

$$t_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$

Вычисляем значения функции в критических точках:

• Для $t = -1$:

  $$y(-1) = 2(-1)^2 — 3(-1) — 1 = 2 + 3 — 1 = 4$$

• Для $t = \frac{3}{4}$:

  $$y\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{4} — 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} — \frac{9}{4} — 1 = -1 — \frac{9}{8} = -2 \frac{1}{8}$$

• Для $t = 1$:

  $$y(1) = 2(1)^2 — 3(1) — 1 = 2 — 3 — 1 = -2$$

Находим наибольшее и наименьшее значение функции:

Наибольшее значение функции $y$ равно $4$, а наименьшее значение функции $y$ равно $-2 \frac{1}{8}$.

Ответ:

$$\boxed{-2 \frac{1}{8}; \, 4}$$