ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.67 Профильный Уровень Мордкович - Подробные Ответы

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin 3 x + \cos 2 x + 4 \sin^{3} x$

б) $y = \cos 3 x + \cos 2 x - 4 \cos^{3} x$

Краткий ответ

Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin 3x + \cos 2x + 4 \sin^3 x$

Преобразуем функцию:

$y = (3 \sin x — 4 \sin^3 x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) + 4 \sin^3 x$ $y = 3 \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x) — \sin^2 x$ $y = -2 \sin^2 x + 3 \sin x + 1$

Пусть $t = \sin x$ , тогда $t \in [-1; 1]$ :

$y = -2t^2 + 3t + 1, \quad t \in [-1; 1]$

Абсцисса вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}$

Значения функции:

$y(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -2 — 3 + 1 = -4$ $y\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} + 1 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 1 = 1 + \frac{9}{8} = 2 \frac{1}{8}$ $y(1) = -2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

Ответ:

$-4; \, 2 \frac{1}{8}$

б) $y = \cos 3x + \cos 2x — 4 \cos^3 x$

Преобразуем функцию:

$y = (4 \cos^3 x — 3 \cos x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) — 4 \cos^3 x$ $y = -3 \cos x + \cos^2 x — (1 — \cos^2 x)$ $y = 2 \cos^2 x — 3 \cos x — 1$

Пусть $t = \cos x$ , тогда $t \in [-1; 1]$ :

$y = 2t^2 — 3t — 1, \quad t \in [-1; 1]$

Абсцисса вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

Значения функции:

$y(-1) = 2(-1)^2 — 3(-1) — 1 = 2 + 3 — 1 = 4$ $y\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{4} — 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} — \frac{9}{4} — 1 = -1 — \frac{9}{8} = -2 \frac{1}{8}$ $y(1) = 2 \cdot 1^2 — 3 \cdot 1 — 1 = 2 — 3 — 1 = -2$

Ответ:

$-2 \frac{1}{8}; \, 4$

Подробный ответ

а) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$y = \sin 3x + \cos 2x + 4 \sin^3 x$

Преобразуем функцию:

Для начала, давайте попробуем упростить выражение функции $y$ , используя стандартные тригонометрические тождества.

В выражении $\sin 3x$ мы можем использовать формулу для синуса тройного угла:

$\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$

Подставим это в исходную функцию:

$y = (3 \sin x — 4 \sin^3 x) + \cos 2x + 4 \sin^3 x$

Теперь заметим, что термины с $4 \sin^3 x$ сокращаются:

$y = 3 \sin x + \cos 2x$

Следовательно, функция упрощается до:

$y = 3 \sin x + \cos 2x$

Используем тождества для тригонометрических функций:

Теперь нам нужно воспользоваться тождеством для $\cos 2x$ :

$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$

Подставим это в функцию $y$ :

$y = 3 \sin x + (\cos^2 x — \sin^2 x)$

Далее, выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$ , так как $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ . Получим:

$y = 3 \sin x + (1 — \sin^2 x — \sin^2 x)$

Упростим выражение:

$y = 3 \sin x + 1 — 2 \sin^2 x$

Преобразуем функцию в квадратное уравнение:

Пусть $t = \sin x$ , тогда $t \in [-1; 1]$ . Тогда функция $y$ примет вид:

$y = 3t + 1 — 2t^2$

Это квадратичная функция относительно $t$ , где $t$ лежит в интервале $[-1; 1]$ .

Находим экстремумы квадратичной функции:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, мы будем использовать свойства квадратичной функции. Функция $y = -2t^2 + 3t + 1$ является параболой, открывающейся вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен.

Для нахождения экстремума (вершины параболы), используем формулу для абсциссы вершины параболы:

$t_0 = -\frac{b}{2a}$

Где $a = -2$ и $b = 3$ . Подставим эти значения:

$t_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}$

Таким образом, вершина параболы находится при $t = \frac{3}{4}$ .

Вычисляем значения функции в критических точках:

Теперь вычислим значения функции $y$ в критических точках, то есть в точках $t = -1$ , $t = \frac{3}{4}$ и $t = 1$ .

Для $t = -1$ :
$y(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -2 — 3 + 1 = -4$
Для $t = \frac{3}{4}$ :
$y\left(\frac{3}{4}\right) = -2 \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{4} + 1 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 1 = -\frac{18}{16} + \frac{36}{16} + \frac{16}{16} = \frac{34}{16} = 2 \frac{1}{8}$
Для $t = 1$ :
$y(1) = -2(1)^2 + 3(1) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

Находим наибольшее и наименьшее значение функции:

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно $2 \frac{1}{8}$ , а наименьшее значение функции $y$ равно $-4$ .

Ответ:

$\boxed{-4; \, 2 \frac{1}{8}}$

б) Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

$y = \cos 3x + \cos 2x — 4 \cos^3 x$

Преобразуем функцию:

Для начала, применим формулы для тригонометрических функций, чтобы упростить выражение.

Используем тождество для $\cos 3x$ :

$\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$

Подставим это в исходную функцию:

$y = (4 \cos^3 x — 3 \cos x) + \cos 2x — 4 \cos^3 x$

Теперь видим, что термины с $4 \cos^3 x$ сокращаются:

$y = -3 \cos x + \cos 2x$

Используем тождество для $\cos 2x$ :

Теперь используем формулу для $\cos 2x$ , которая равна:

$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$

Подставим это в выражение для $y$ :

$y = -3 \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x)$

Воспользуемся тем, что $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$ , чтобы выразить все через $\cos x$ :

$y = -3 \cos x + (1 — \cos^2 x — \sin^2 x)$

Упростим:

$y = 2 \cos^2 x — 3 \cos x — 1$

Преобразуем функцию в квадратное уравнение:

Пусть $t = \cos x$ , тогда $t \in [-1; 1]$ . Функция $y$ примет вид:

$y = 2t^2 — 3t — 1$

Это квадратичная функция относительно $t$ , где $t$ лежит в интервале $[-1; 1]$ .

Находим экстремумы квадратичной функции:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, мы используем свойства квадратичной функции. Функция $y = 2t^2 — 3t — 1$ является параболой, открывающейся вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен.

Чтобы найти абсциссу вершины параболы, используем формулу для вершины:

$t_0 = -\frac{b}{2a}$

Где $a = 2$ и $b = -3$ . Подставим эти значения:

$t_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

Вычисляем значения функции в критических точках:

Для $t = -1$ :
$y(-1) = 2(-1)^2 — 3(-1) — 1 = 2 + 3 — 1 = 4$
Для $t = \frac{3}{4}$ :
$y\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 — 3 \cdot \frac{3}{4} — 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} — \frac{9}{4} — 1 = -1 — \frac{9}{8} = -2 \frac{1}{8}$
Для $t = 1$ :
$y(1) = 2(1)^2 — 3(1) — 1 = 2 — 3 — 1 = -2$