ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.70 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y=\frac{\sin 2x}{\sin x}$

б) $y=\frac{\sin 2x}{\cos x}$

а) $y = \frac{\sin 2x}{\sin x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\sin x} = 2 \cos x$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$

Построим график функции $y = \cos x$;

Совершим его растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

б) $y = \frac{\sin 2x}{\cos x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos x} = 2 \sin x$;

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Построим график функции $y = \sin x$;

Совершим его растяжение от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

а) $y = \frac{\sin 2x}{\sin x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\sin x} = 2 \cos x$

Преобразуем выражение:

У нас есть выражение $y = \frac{\sin 2x}{\sin x}$. Для того чтобы упростить его, мы воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Таким образом, подставляем это в выражение для $y$:

$$y = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\sin x}$$

У нас сокращаются $\sin x$ в числителе и знаменателе:

$$y = 2 \cos x$$

Таким образом, мы получаем, что функция $y$ равна $2 \cos x$.

Условия, при которых выражение имеет смысл:

Рассмотрим выражение $y = \frac{\sin 2x}{\sin x}$. Оно имеет смысл только тогда, когда $\sin x \neq 0$, поскольку деление на ноль невозможно. Вспоминаем, что $\sin x = 0$ при $x = \pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pi n$$

Построение графика функции $y = 2 \cos x$:

Мы знаем, что график функции $y = \cos x$ представляет собой периодическую кривую с амплитудой 1 и периодом $2\pi$. График функции $y = 2 \cos x$ будет аналогичен графику функции $y = \cos x$, но растянут по оси $y$ в два раза, так как перед косинусом стоит коэффициент 2. Таким образом, амплитуда функции удваивается, а период остается равным $2\pi$.

• Функция $y = 2 \cos x$ будет колебаться между значениями $-2$ и $2$.
• График будет иметь тот же вид, что и график функции $y = \cos x$, но его максимумы будут равны 2, а минимумы — -2.

Растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

Означает, что график функции будет растянут по вертикали в два раза. Таким образом, максимальное значение функции $y = 2 \cos x$ будет равно 2, а минимальное — -2. Период графика останется $2\pi$, так как коэффициент $2$ касается только вертикального растяжения.

б) $y = \frac{\sin 2x}{\cos x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos x} = 2 \sin x$

Преобразуем выражение:

У нас есть выражение $y = \frac{\sin 2x}{\cos x}$. Мы можем снова воспользоваться формулой для синуса двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставляем это в исходное выражение для $y$:

$$y = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos x}$$

У нас снова сокращаются $\cos x$ в числителе и знаменателе:

$$y = 2 \sin x$$

Таким образом, мы получаем, что функция $y$ равна $2 \sin x$.

Условия, при которых выражение имеет смысл:

Рассмотрим выражение $y = \frac{\sin 2x}{\cos x}$. Оно имеет смысл только тогда, когда $\cos x \neq 0$, поскольку деление на ноль невозможно. Вспоминаем, что $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Построение графика функции $y = 2 \sin x$:

График функции $y = \sin x$ представляет собой периодическую кривую с амплитудой 1 и периодом $2\pi$. График функции $y = 2 \sin x$ будет аналогичен графику функции $y = \sin x$, но растянут по оси $y$ в два раза, так как перед синусом стоит коэффициент 2. Таким образом, амплитуда функции удваивается, а период остается равным $2\pi$.

• Функция $y = 2 \sin x$ будет колебаться между значениями $-2$ и $2$.
• График будет иметь тот же вид, что и график функции $y = \sin x$, но его максимумы будут равны 2, а минимумы — -2.

Растяжение графика от оси $Ox$ с коэффициентом $k = 2$:

Растяжение по оси $y$ с коэффициентом $k = 2$ означает, что максимальное значение функции $y = 2 \sin x$ будет равно 2, а минимальное — -2. Период графика останется $2\pi$, так как коэффициент $2$ касается только вертикального растяжения.