ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.73 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$

б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}$

в) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|}$

г) $y=\frac{\sin 2x}{2\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }}$

а) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$

Функция является периодической с основным периодом $T = \pi$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{|\sin(x + \pi)|} = \frac{\sin(2x + 2\pi)}{|-\sin x|} = \frac{\sin 2x}{|\sin x|} = y(x);$$

Если $0 \leq x \leq \pi$, тогда $\sin x \geq 0$:

$$y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\sin x} = 2 \cos x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0; \quad x \neq \pi n;$$

График функции:

б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}$

Функция является периодической с основным периодом $T = \pi$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{-2|\cos(x + \pi)|} = \frac{\sin(2x + 2\pi)}{-2|-\cos x|} = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|} = y(x);$$

Если $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, тогда $\cos x \geq 0$:

$$y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-2 \cos x} = -\sin x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0; \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

График функции:

в) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|}$

Функция является периодической с основным периодом $T = \pi$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{-|\cos(x + \pi)|} = \frac{\sin(2x + 2\pi)}{-|-\cos x|} = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|} = y(x);$$

Если $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, тогда $\cos x \geq 0$:

$$y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-\cos x} = -2 \sin x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0; \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

График функции:

г) $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}$

Функция является периодической с основным периодом $T = \pi$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{2|\sin(x + \pi)|} = \frac{\sin(2x + 2\pi)}{2|-\sin x|} = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|} = y(x);$$

Если $0 \leq x \leq \pi$, тогда $\sin x \geq 0$:

$$y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{2 \sin x} = \cos x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0; \quad x \neq \pi n;$$

График функции:

а) $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$

Периодичность функции:

Для того чтобы проверить периодичность функции $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$, вычислим значение функции при сдвиге на период.

Рассмотрим $y(x + \pi)$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{|\sin(x + \pi)|}.$$

Используем идентичности тригонометрических функций:

$$\sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x,$$

и

$$\sin(x + \pi) = -\sin x.$$

Тогда:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2x}{|\sin x|} = y(x).$$

Это подтверждает, что функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.

Вычисление функции на интервале $0 \leq x \leq \pi$:

Для $0 \leq x \leq \pi$, на этом интервале $\sin x \geq 0$, то есть $|\sin x| = \sin x$. Подставляем это в выражение для функции:

$$y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|} = \frac{\sin 2x}{\sin x}.$$

Используя тригонометрическое тождество $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$, получаем:

$$y = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\sin x}.$$

При $\sin x \neq 0$ (когда $x \neq \pi n$, то есть $x \neq 0, \pi$) выражение упрощается:

$$y = 2 \cos x.$$

Ограничения на область определения:

Для того чтобы выражение $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$ имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель $|\sin x| \neq 0$, то есть $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \pi n$, где $n$ — целое число.

График функции:

График функции $y = \frac{\sin 2x}{|\sin x|}$ будет представлять собой модификацию синусоидальной функции $\sin 2x$, разделенную на абсолютное значение $\sin x$, что приводит к изменению амплитуды и разрыву функции в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

б) $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}$

Периодичность функции:

Для проверки периодичности функции вычислим значение $y(x + \pi)$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{-2|\cos(x + \pi)|}.$$

Используем тригонометрические тождества:

$$\sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x,$$

и

$$\cos(x + \pi) = -\cos x.$$

Таким образом:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|} = y(x).$$

Это подтверждает, что функция также является периодической с основным периодом $T = \pi$.

Вычисление функции на интервале $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$:

На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, $\cos x \geq 0$, то есть $|\cos x| = \cos x$. Подставляем это в выражение для функции:

$$y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|} = \frac{\sin 2x}{-2 \cos x}.$$

Используем тождество $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$:

$$y = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-2 \cos x}.$$

При $\cos x \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$) выражение упрощается:

$$y = -\sin x.$$

Ограничения на область определения:

Для того чтобы выражение $y = \frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}$ имело смысл, необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

График функции:

График функции будет представлять собой модификацию синусоидальной функции $\sin x$, с амплитудой, измененной на $-2$, и разрывами в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

в) $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|}$

Периодичность функции:

Для проверки периодичности функции вычислим значение $y(x + \pi)$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{-|\cos(x + \pi)|}.$$

Используем тригонометрические тождества:

$$\sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x,$$

и

$$\cos(x + \pi) = -\cos x.$$

Тогда:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|} = y(x).$$

Это подтверждает, что функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.

Вычисление функции на интервале $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$:

На интервале $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, $\cos x \geq 0$, то есть $|\cos x| = \cos x$. Подставляем это в выражение для функции:

$$y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|} = \frac{\sin 2x}{-\cos x}.$$

Используем тождество $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$:

$$y = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-\cos x}.$$

При $\cos x \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$) выражение упрощается:

$$y = -2 \sin x.$$

Ограничения на область определения:

Для того чтобы выражение $y = \frac{\sin 2x}{-|\cos x|}$ имело смысл, необходимо, чтобы $\cos x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

График функции:

График функции будет представлять собой модификацию синусоидальной функции $\sin x$, с амплитудой, измененной на $-2$, и разрывами в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число.

г) $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}$

Периодичность функции:

Для проверки периодичности функции вычислим значение $y(x + \pi)$:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2(x + \pi)}{2|\sin(x + \pi)|}.$$

Используем тригонометрические тождества:

$$\sin(2(x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x,$$

и

$$\sin(x + \pi) = -\sin x.$$

Тогда:

$$y(x + \pi) = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|} = y(x).$$

Это подтверждает, что функция является периодической с основным периодом $T = \pi$.

Вычисление функции на интервале $0 \leq x \leq \pi$:

На интервале $0 \leq x \leq \pi$, $\sin x \geq 0$, то есть $|\sin x| = \sin x$. Подставляем это в выражение для функции:

$$y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|} = \frac{\sin 2x}{2 \sin x}.$$

Используя тождество $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$, получаем:

$$y = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{2 \sin x}.$$

При $\sin x \neq 0$ (когда $x \neq \pi n$) выражение упрощается:

$$y = \cos x.$$

Ограничения на область определения:

Для того чтобы выражение $y = \frac{\sin 2x}{2|\sin x|}$ имело смысл, необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq \pi n$, где $n$ — целое число.

График функции:

График функции будет представлять собой модификацию косинусоидальной функции $\cos x$, с разрывами в точках $x = n\pi$, где $n$ — целое число.