ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $(\sin t-\cos t{)}^2=1-\sin 2t$

б) ${\cos }^{4}t-{\sin }^{4}t=\cos 2t$

в) $(\sin t+\cos t{)}^2=1+\sin 2t$

г) ${\cos }^{4}t-{\sin }^{4}t=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2t$

Доказать тождество:

а) $(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t$

Преобразуем левую часть равенства:

$$(\sin t — \cos t)^2 = \sin^2 t — 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Сгруппируем:

$$= (\sin^2 t + \cos^2 t) — 2 \sin t \cos t$$

Применим тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ и $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$:

$$= 1 — \sin 2t$$

Тождество доказано.

б) $\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t$

Преобразуем левую часть:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 — (\sin^2 t)^2 = (\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$$

Применим тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$= (\cos^2 t — \sin^2 t) \cdot 1 = \cos 2t$$

Тождество доказано.

в) $(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$

Преобразуем левую часть:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Сгруппируем:

$$= (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 \sin t \cos t = 1 + \sin 2t$$

Тождество доказано.

г) $\cos^4 t — \sin^4 t = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t$

1) Преобразуем левую часть:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = (\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$$

Поскольку $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, имеем:

$$= \cos^2 t — \sin^2 t = \cos 2t$$

Диапазон значений:

$$-1 \leq \cos 2t \leq 1$$

2) Преобразуем правую часть:

$$1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t$$

Заменим $\sin^2 2t$ через $\cos 4t$:

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}$$

Подставим:

$$1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1 — \cos 4t}{2} = 1 — \frac{1 — \cos 4t}{4}$$

Упростим:

$$= \frac{4}{4} — \frac{1 — \cos 4t}{4} = \frac{3 + \cos 4t}{4}$$

Диапазон значений:

$$-1 \leq \cos 4t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq 3 + \cos 4t \leq 4 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq \frac{3 + \cos 4t}{4} \leq 1$$

А $\cos 2t$ может принимать значения от $-1$ до $1$, то есть:

$$\cos 2t \not\equiv \frac{3 + \cos 4t}{4}$$

Тождество не выполняется.

а)

Докажем тождество:

$$(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t$$

Шаг 1. Раскроем скобки в левой части:

$$(\sin t — \cos t)^2 = \sin^2 t — 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2. Объединим квадраты:

$$\sin^2 t + \cos^2 t — 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3. Используем тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$ $$\Rightarrow 1 — 2 \sin t \cos t$$

Шаг 4. Вспомним:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t \Rightarrow 2 \sin t \cos t = \sin 2t$$

Шаг 5. Подставим:

$$1 — \sin 2t$$

Вывод:

Левая часть равна правой:

$$\boxed{(\sin t — \cos t)^2 = 1 — \sin 2t}$$

Тождество доказано.

б)

Докажем тождество:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t$$

Шаг 1. Узнаём формулу:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$$

Применим к $\cos^4 t — \sin^4 t$:

$$(\cos^2 t)^2 — (\sin^2 t)^2 = (\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$$

Шаг 2. Используем тождество:

$$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$

Шаг 3. Получаем:

$$(\cos^2 t — \sin^2 t) \cdot 1 = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 4. Это определение:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Вывод:

$$\boxed{\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t}$$

Тождество доказано.

в)

Докажем тождество:

$$(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t$$

Шаг 1. Раскроем скобки:

$$(\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2 \sin t \cos t + \cos^2 t$$

Шаг 2. Объединим квадраты:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Шаг 3. Получаем:

$$1 + 2 \sin t \cos t$$

Шаг 4. Вспомним:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cos t \Rightarrow 1 + \sin 2t$$

Вывод:

$$\boxed{(\sin t + \cos t)^2 = 1 + \sin 2t}$$

Тождество доказано.

г)

Проверим тождество:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t$$

Левая часть:

$$\cos^4 t — \sin^4 t = (\cos^2 t)^2 — (\sin^2 t)^2 \Rightarrow (\cos^2 t — \sin^2 t)(\cos^2 t + \sin^2 t)$$ $$= (\cos^2 t — \sin^2 t) \cdot 1 = \cos 2t$$

Промежуточный вывод (левая часть):

$$\cos^4 t — \sin^4 t = \cos 2t$$

Правая часть:

$$1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \Rightarrow \sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}$$

Шаг 2. Подставим:

$$1 — \frac{1}{2} \cdot \frac{1 — \cos 4t}{2} = 1 — \frac{1 — \cos 4t}{4}$$

Шаг 3. Упростим:

$$= \frac{4}{4} — \frac{1 — \cos 4t}{4} = \frac{3 + \cos 4t}{4}$$

Диапазон значений:

• $\cos 4t \in [-1, 1] \Rightarrow 3 + \cos 4t \in [2, 4]$
• $\frac{3 + \cos 4t}{4} \in [0.5, 1]$

Сравним:

• Левая часть: $\cos 2t \in [-1, 1]$
• Правая часть: $\in [0.5, 1]$

Они не совпадают во всём диапазоне $t$, значит равенство не является тождеством.

Вывод:

$$\boxed{\cos^4 t — \sin^4 t \ne 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2t}$$

Тождество не выполняется.