ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 27.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}$;

б) $2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$;

в) $2 \sin^2 2t = 1 + \sin \left( \frac{3\pi}{2} — 4t \right)$;

г) $2 \cos^2 t — \cos 2t = 1$

Доказать тождество:

а) $\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\frac{1 — \cos 4t}{2} = \frac{(\cos^2 2t + \sin^2 2t) — (\cos^2 2t — \sin^2 2t)}{2} = \frac{2 \sin^2 2t}{2} = \sin^2 2t;$$

Тождество доказано.

б) $2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 2 \cdot \frac{1 — \cos t}{2} + \cos t = (1 — \cos t) + \cos t = 1;$$

Тождество доказано.

в) $2 \sin^2 2t = 1 + \sin \left( \frac{3\pi}{2} — 4t \right)$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$1 + \sin \left( \frac{3\pi}{2} — 4t \right) = 1 — \cos 4t = 2 \cdot \frac{1 — \cos 4t}{2} = 2 \sin^2 \frac{4t}{2} = 2 \sin^2 2t;$$

Тождество доказано.

г) $2 \cos^2 t — \cos 2t = 1$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 2 \cos^2 t — (\cos^2 t — \sin^2 t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1;$$

Тождество доказано.

а) Доказать тождество:

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2}$$

Шаг 1. Используем формулу понижения степени:

Из тригонометрии известно, что:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Эта формула верна при любом значении $x$.

Шаг 2. Подставим $x = 2t$:

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos(2 \cdot 2t)}{2} = \frac{1 — \cos 4t}{2}$$

Вывод:

Левая часть равна правой, значит:

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2} \quad \text{— тождество доказано.}$$

б) Доказать тождество:

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1$$

Шаг 1. Используем формулу понижения степени:

$$\sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1 — \cos t}{2}$$

Шаг 2. Умножим обе части на 2:

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} = 1 — \cos t$$

Шаг 3. Подставим в исходное выражение:

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = (1 — \cos t) + \cos t$$

Шаг 4. Упростим выражение:

$$1 — \cos t + \cos t = 1$$

Вывод:

$$2 \sin^2 \frac{t}{2} + \cos t = 1 \quad \text{— тождество доказано.}$$

в) Доказать тождество:

$$2 \sin^2 2t = 1 + \sin\left( \frac{3\pi}{2} — 4t \right)$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

Используем формулу:

$$\sin\left(a — b\right) = \sin a \cos b — \cos a \sin b$$

Значения:

• $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$
• $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

Тогда:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos 4t — \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\sin 4t = (-1)\cos 4t — 0 = -\cos 4t$$

Шаг 2. Подставим в выражение:

$$1 + \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right) = 1 — \cos 4t$$

Шаг 3. Используем формулу понижения степени:

$$\sin^2 2t = \frac{1 — \cos 4t}{2} \Rightarrow 2 \sin^2 2t = 1 — \cos 4t$$

Шаг 4. Сравним обе части:

$$2 \sin^2 2t = 1 — \cos 4t = 1 + \sin\left(\frac{3\pi}{2} — 4t\right)$$

Вывод:

$$2 \sin^2 2t = 1 + \sin\left( \frac{3\pi}{2} — 4t \right) \quad \text{— тождество доказано.}$$

г) Доказать тождество:

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 1$$

Шаг 1. Используем формулу двойного угла для косинуса:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Шаг 2. Подставим в левую часть:

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 2 \cos^2 t — (\cos^2 t — \sin^2 t)$$

Шаг 3. Раскроем скобки:

$$2 \cos^2 t — \cos^2 t + \sin^2 t = \cos^2 t + \sin^2 t$$

Шаг 4. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$

Вывод:

$$2 \cos^2 t — \cos 2t = 1 \quad \text{— тождество доказано.}$$