ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 28.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

a) sin40° + sin16°;

б) sin20° — sin40°;

в) sin10° + sin50°;

г) sin52° — sin36°.

Представить в виде произведения:

а) $\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin \frac{40^\circ + 16^\circ}{2} \cdot \cos \frac{40^\circ — 16^\circ}{2} =$
$= 2 \sin \frac{56^\circ}{2} \cdot \cos \frac{24^\circ}{2} = 2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ$;

б) $\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = 2 \sin \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} \cdot \cos \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} =$
$= 2 \sin \left( \frac{-20^\circ}{2} \right) \cdot \cos \frac{60^\circ}{2} = -2 \sin 10^\circ \cdot \cos 30^\circ$;

в) $\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin \frac{10^\circ + 50^\circ}{2} \cdot \cos \frac{10^\circ — 50^\circ}{2} =$
$= 2 \sin \frac{60^\circ}{2} \cdot \cos \left( \frac{-40^\circ}{2} \right) = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ$;

г) $\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \sin \frac{52^\circ — 36^\circ}{2} \cdot \cos \frac{52^\circ + 36^\circ}{2} =$
$= 2 \sin \frac{16^\circ}{2} \cdot \cos \frac{88^\circ}{2} = 2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ$;

Для того чтобы преобразовать данные тригонометрические выражения в произведения, будем использовать следующие тригонометрические тождества:

Тождество для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Тождество для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Теперь применим эти тождества к каждому из пунктов задачи.

а) $\sin 40^\circ + \sin 16^\circ$

Мы используем тождество для суммы синусов:

$$\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin \left( \frac{40^\circ + 16^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{40^\circ — 16^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{40^\circ + 16^\circ}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ$
• $\frac{40^\circ — 16^\circ}{2} = \frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ.$$

Ответ для пункта (а):

$$\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ.$$

б) $\sin 20^\circ — \sin 40^\circ$

Мы используем тождество для разности синусов:

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = 2 \sin \left( \frac{20^\circ — 40^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{20^\circ + 40^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{20^\circ — 40^\circ}{2} = \frac{-20^\circ}{2} = -10^\circ$
• $\frac{20^\circ + 40^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = 2 \sin \left( -10^\circ \right) \cdot \cos 30^\circ.$$

Используя свойство синуса $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, получаем:

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = -2 \sin 10^\circ \cdot \cos 30^\circ.$$

Ответ для пункта (б):

$$\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = -2 \sin 10^\circ \cdot \cos 30^\circ.$$

в) $\sin 10^\circ + \sin 50^\circ$

Мы используем тождество для суммы синусов:

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin \left( \frac{10^\circ + 50^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{10^\circ — 50^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{10^\circ + 50^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\frac{10^\circ — 50^\circ}{2} = \frac{-40^\circ}{2} = -20^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos \left( -20^\circ \right).$$

Используя свойство косинуса $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, получаем:

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ.$$

Ответ для пункта (в):

$$\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ.$$

г) $\sin 52^\circ — \sin 36^\circ$

Мы используем тождество для разности синусов:

$$\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \sin \left( \frac{52^\circ — 36^\circ}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{52^\circ + 36^\circ}{2} \right).$$

Считаем значения в скобках:

• $\frac{52^\circ — 36^\circ}{2} = \frac{16^\circ}{2} = 8^\circ$
• $\frac{52^\circ + 36^\circ}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ$

Подставляем эти значения в выражение:

$$\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ.$$

Ответ для пункта (г):

$$\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ.$$

Итоговые результаты:

а) $\sin 40^\circ + \sin 16^\circ = 2 \sin 28^\circ \cdot \cos 12^\circ$

б) $\sin 20^\circ — \sin 40^\circ = -2 \sin 10^\circ \cdot \cos 30^\circ$

в) $\sin 10^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 20^\circ$

г) $\sin 52^\circ — \sin 36^\circ = 2 \sin 8^\circ \cdot \cos 44^\circ$